Em mới học lớp 8 nên ko biết các anh chị có cách làm như thế nào nhưng nếu dùng máy tính casio thì thế này ạ:

1997:2003 dư 1997

1997²:2003 dư 36

=> 1997¹⁰ đồng dư 36⁵ là 1615 (mod 2003)

1997^20 đồng dư vs 1615^2 là 319 (mod 2003)

=> 1997^50 đồng dư vs 1615*319^2 là 1871 (mod 2003)

Cứ thế tính dần  lên là đc

1997^100 : 2003 dư 1400

1997^200 :2003 dư 1066

1997^500 :2003 dư 1629

1997^1000 : 2003 dư 1669

1997^2001 đồng dư vs: 1669²*1997 là 1669

 vậy 1997²⁰⁰¹ chia cho 2003 dư 1669

 Nếu em làm sai ở đâu nhờ amh chị sửa dùm nhé. 

Số dư = 0

cần giải thích k

Ta có:

        7²⁰⁰⁴=7^4.501=A1

      =>A1:10=(A0+1):10=B0+1=B1=>7²⁰⁰⁴:10 dư 1

        3²⁰⁰³=3^4.500+3=3^4.500+3³=C1+27=D8:10 dư 8

Ta xét chữ số tận cùng của 7²⁰⁰⁴ và 3²⁰⁰³

ta có: 7²⁰⁰⁴ = 7^4.501 = (.....1)⁵⁰¹ = .........1 => tận cùng là 1 => chia 10 dư 1

ta có: 3²⁰⁰³ = 3^4.500+3 = (......1)⁵⁰⁰ . 3³ = (........1) . 27 = ......7 => tận cùng là 7 => chia 10 dư 7

Vậy: 7²⁰⁰⁴ chia 10 dư 1 ; 3²⁰⁰³ chia 10 dư 7

2003²⁰⁰⁴ khi chia cho 2001 số dư là 1591

Lời giải:
Theo định lý Fermat thì:

$2002^{18}\equiv 1\pmod {19}$

$\Rightarrow (2002^{18})^{111}.2002^5\equiv 2002^5\pmod {19}$

$2002\equiv 7\pmod {19}$

$\Rightarrow 2002^5\equiv 7^5\equiv 11\pmod {19}$

Vậy $2002^{2003}$ chia $19$ dư $11$

Gọi a là số cần tìm

Vì a chia 2001 dư 23 suy ra a = 2001p + 23(p thuộc N)

Vì a chia 2003 dư 32  suy ra a = 2003q + 32(q thuộc N)

Suy ra 2001p+23=2003q+32              

          2001p-2001q=2q+32-23

         2001(p-q)=2q+9

Suy ra 2q+9 chia hết cho 2001

Mà a nhỏ nhất thì q nhỏ nhất

Nếu 2q+9=2001 suy ra q=996(chọn)

Với q=996 suy ra a=996 x 2003+32=1995020

Vậy số cần tìm là 1995020      

Giải:Ta có: 20012 ≡ 4 (mod 2003) ⇒ 200110 ≡ 1024 (mod 2003) ⇒ 200120 ≡ 1007 (mod 2003) ⇒ 200140 ≡ 10072 ≡ 531 (mod 2003) ⇒ 200140.200110 ≡ 1024.531≡ 931 (mod 2003) 200150 ≡ 931 (mod 2003) ⇒ 2001100 ≡ 9312 ≡ 1465 (mod 2003) ⇒ 2001200 ≡ 14652 ≡ 1012 (mod 2003) ⇒ 2001400 ≡ 10122 ≡ 611 (mod 2003) ⇒ 2001400 . 2001100 ≡ 611.1465 ≡ 1777 (mod 2003) 2001500 ≡1777 (mod 2003) ⇒ 20011000 ≡ 17772 ≡ 1001 (mod 2003) ⇒ 20012000 ≡ 10012 ≡ 501 (mod 2003) ⇒ 20012000 . 200110 ≡ 501.1024 ≡ 256 (mod 2003) 20012010 ≡256 (mod 2003)Vậy : 20012010 chia cho 2003 có số dư là 256