cậu Áp dụng bđt cô si để chứng minh \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Áp dụng ta có \(\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

=> \(1\ge4a\left(b+c\right)\)(1)

Áp dụng lần nữa ta có 

\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) (2 )

từ (1),(2), nhận 2 vế ta có 

\(\left(b+c\right)^2\ge16\left(b+c\right)abc\)

=> \(b+c\ge16abc\) (ĐPCM) 

dấu = tự tìm nhé

Ta có: \(\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm, ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)

hay \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)

Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)nên 

\(b+c\ge4a.4bc=16abc\left(đpcm\right)\)

Cảm ơn bạn rất nhiều ;))

Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm, Ta có: 

\(\left(a+b+c\right)^2=1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)

Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\forall b,c\ge0\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu "=" xảy ra khi: 

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\b=c\\a=b+c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)

Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương ta có: 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2,\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)(đúng) 

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(do a+b+c=1)

BĐT tương đương : \(\frac{a\left(a+c+b-3b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a+c-3c\right)}{a+bc}+\frac{c\left(c+b+a-3a\right)}{1+ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{3b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{3c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+1+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+1+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\ge3\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}\cdot\frac{b+1}{1+bc}\cdot\frac{c+1}{1+ca}}\)

Ta phải chứng minh: \(\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}\cdot\frac{b+1}{1+bc}\cdot\frac{c+1}{1+ca}}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)\)

Thật vậy \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\ge a^2b^2c^2+abc\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca+1\)

\(\Leftrightarrow3\ge a^2b^2c^2+2abc\) (*)

Từ a+b+c=3 => \(3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\le1\)

=> (*) đúng

Vậy \(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ca}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

đay nha

Vì A,b,c.0 va a+b+c=0

Suy ra th1a=1; b=0;c=0

           th2 a=0;b=1;c=0

          th3 a=0;b=0;c=0

Dawt

<=> (a+b)^2+(b+c)+(c+a)^2<=36

<=>a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ac+a^2<=36

<=>2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)<=36

<=>2(a(a+b)+(b(b+c)+c(c+a)<=36

Thay số Vào ta thấy Cả 3 trường hợp đều tm

Mk nghĩ ko có  cho bài giải naytương lại đâu

6 hay \(\sqrt{6}\)vậy bạn? Khi thay \(a=b=c=\frac{1}{3}\)thì nó ra \(\sqrt{6}\)cơ