GIẢI GIÚP MÌNH ĐI MAI MÌNH THI RỒI

a, xét cs tc

b,dễ

Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa 4 có tận cùng là 1                                          suy ra 2003 mũ 2000 có tận cùng là 4               Suy ra 2003 mũ 2003 có tận cùng là 7            Số có tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa 4 thì có tận cùng là 1                                                          Suy ra 2007 mũ 2004 có  tận cùng là một     Suy ra  2007 mũ 2007  có tận cùng là ba         Suy ra  2003 mũ 2003+ 2007 mũ2007  có tận cùng là 0   Chia hết cho 10                         

\(2007^{2005}-2003^{2003}=\left(...7\right)^{4.501}.\left(...7\right)^1-\left(...3\right)^{4.500}.\left(...3\right)^3=\left(...1\right).\left(...7\right)-\left(...1\right).\left(...7\right)\)\(=\left(...7\right)-\left(...7\right)=...0\).

Số này có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 2 hay có dạng 2k (k \(\in\) Z)

Do đó \(H=0,5.2k=\frac{1}{2}.2k=\frac{2k}{2}=k\) là số nguyên 

Ta có \(0.5\left(2007^{2005}-2003^{2003}\right)\)=  \(\frac{2007^{2005}-2003^{2003}}{2}\)

Vì \(2007^{2005}\)lẻ và \(2003^{2003}\)lẻ

\(\Rightarrow2007^{2005}-2003^{2003}\)chẵn

 \(\Rightarrow2007^{2005}-2003^{2003}⋮2\)

\(\Rightarrow0.5\left(2007^{2005}-2003^{2003}\right)\)là số nguyên (đpcm)

Phải chứng minh 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ có tận cùng là 0

Ta có:

\(2007^{2005}-2003^{2003}=2007^{2004}.2007-2003^{2000}.2003^3\)

                                        \(=\left(2007^4\right)^{501}.2007-\left(2003^4\right)^{500}.\left(...7\right)\)

                                        \(=\left(...1\right)^{501}.2007-\left(...1\right)^{500}.\left(...7\right)\)

                                        \(=\left(...1\right).2007-\left(...1\right).\left(...7\right)\)

                                         \(=\left(...7\right)-\left(...7\right)\)

                                          \(=\left(...0\right)\)

=> 0,5.(2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³) là số nguyên

=> đpcm

2007^2005 là số lẻ

2003^2003 là số lẻ

=>2007^2005-2003^2003 là số chẵn chia hết cho 2

=>0,5(2007^2005-2003^2003)=(2007^2005-2003^2003) /2 là so nguyen dpcm

Ta có 2007²⁰⁰⁵ có chữ số tận cùng là 7²⁰⁰⁵

2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 3²⁰⁰³

Ta có 7²⁰⁰⁵ = 7²⁰⁰⁴.7=(7⁴)⁵⁰⁴ = 2401⁵⁰¹.7 có chữ số tận cùng là 1 .7 = 7 

=> 2007²⁰⁰⁵ có chữ số tận cùng là 1

Lại có : 3²⁰⁰³= 3²⁰⁰⁰.3³ = ( 3⁴ )⁵⁰⁰ .27 = 81⁵⁰⁰.27 có chữ số tận cùng là 1.7 =7 

=> 2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 7

=> 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 0 

=> 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ chia hết cho 10 

=> 0,5 . ( 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³) là 1 số nguyên

=> đpcm