. Cho đường tròn tâm O . 2 dây AB,CD bằng nhau. Dây AB và CD cắt nhau tại E nằm ngoài đường tròn. Gọi A,K lần lượt là trung điểm của AB,CD
CMR: EH=EK=EA=EC
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH = EK
b) EA = EC.
a) Nối OE ta có: AB = CD
=> OH = OK (Định lí 3)
Hai tam giác vuông OEH và OEK có:
OE là cạnh chung
OH = OK
=> ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
=> EH = EK (1). (đpcm)
b) Ta có: OH ⊥ AB
Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
EA = EH + HA = EK + KC = EC
Vậy EA = EC. (đpcm)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh
a) EH= EK
b) EA= EC
a, Ta có : d(O;AB) = OH
d(O;CD) = OK
AB = CD => OH = OK => EB = ED
mà H ; K lần lượt là trung điểm AB và CD => EH = EK
b, Vi OH = OK => AE = EC
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng :
a) EH = EK
b) EA = EC
a)Vì HA=HB nên OH⊥AB
Vì KC=KD nên OK⊥CD
Mặt khác, AB=CD nên OH=OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).
ΔHOE=ΔKOE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra EH=EK. (1)
b) Ta có AH=KC (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)
Từ (1) và (2) suy ra EH+HA=EK+KC hay EA=EC.
cho đường tròn (O)có các dây AB và CD bằng nhau ,các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài dường tròn .gội H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.cmr
a)EH=EK
b)EA=EC
a) Nối OE ta có: AB = CD
=> OH = OK (Định lí 3)
Hai tam giác vuông OEH và OEK có:
OE là cạnh chung
OH = OK
=> \(\Delta OEH=\Delta OEK\)( cạnh huyền, cạnh góc vuông )
=> EH = EK (1). (đpcm)
b) Ta có: \(OH\perp AB\)
\(AH=\frac{1}{2}AB\left(đl1\right)\)
Tương tự , ta có : \(KC=\frac{1}{2}CD\)
Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
EA = EH + HA = EK + KC = EC
Vậy EA = EC (đpcm)
Bài 13 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn $(O)$ có các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $E$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng:
a) $EH = EK$ ;
b) $EA = EC$.
Lời giải chi tiết
a) Nối OE.
Vì HA=HBHA=HB nên OH⊥ABOH⊥AB (ĐLí 2 - trang 103: đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Vì KC=KDKC=KD nên OK⊥CDOK⊥CD. (ĐLí 2 - trang 103: đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Mặt khác, AB=CDAB=CD nên OH=OKOH=OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).
Xét ΔHOEΔHOE và ΔKOEΔKOE có:
OH=OKOH=OK
EOEO chung
ˆEHO=ˆEKO=900EHO^=EKO^=900
Suy ra ΔHOE=ΔKOEΔHOE=ΔKOE (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra EH=EK(1)EH=EK(1)
b) Theo giả thiết, AB=CDAB=CD nên AB2=CD2AB2=CD2 hay AH=KCAH=KC (2)
Từ (1) và (2) suy ra EH+HA=EK+KCEH+HA=EK+KC
hay EA=EC.
a) Nối OE ta có: AB = CD
=> OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)
H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
K là trung điểm của CD nên OK ⊥ CD (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Hai tam giác vuông OEH và OEK có:
OE là cạnh chung
OH = OK
Do đó ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
=> EH = EK (1). (đpcm)
b) Ta có: H là trung điểm của AB nên AH = \(\frac{1}{2}\)AB
K là trung điểm của CD nên CK = \(\frac{1}{2}\)CD
\(AH=\frac{1}{2}AB\)(định lí 1)
Tương tự ta có KC = \(\frac{1}{2}\)CD
Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
EA = EH + HA = EK + KC = EC
Vậy EA = EC. (đpcm)
a) Ta có: nên
Vì nên
(cạnh huyền - cạnh góc vuông), suy ra . (1)
b) (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
EH = EK
Nối OE ta có: AB = CD
=> OH = OK (Định lí 3)
Hai tam giác vuông OEH và OEK có:
OE là cạnh chung
OH = OK
=> ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
=> EH = EK (1). (đpcm)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
EA = EC
Ta có: OH ⊥ AB
Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
EA = EH + HA = EK + KC = EC
Vậy EA = EC. (đpcm)
Cho đường tròn tâm O, hai dây AB va CD bằng nhau và không cắt nhau. AB và CD cắt nhau bên ngoài đường tròn tại S. Goi I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. CMR IK vuông góc với SO và IK //AC
Cho đường tròn tâm O, hai dây AB > CD. AB cắt CD tại điểm M nằm ngoài đường tròn (O) (A nằm giữa M và B; C nằm giữa M và D). Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, CD.
Chứng minh MH > MK
Bài 1: Cho AB và CD là 2 dây của đường tròn O cắt nhau tại M nằm bên trong đường tròn gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD biết AB> CD. So sánh MH và MK
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính AB vẽ 2 dây AB và CD // với nhau. CMR:
a) AC = BD
b) 3 điểm C, O, D thẳng hàng
( Chú ý: BONUS THÊM HÌNH CÀNG TỐT )