Áp dụng định lý dường phân giác: "Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thảng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy"

Xét tg BCE có 

\(\frac{BO}{EO}=\frac{BC}{CE}\Rightarrow\frac{BO}{BC}=\frac{EO}{CE}=\frac{BO+EO}{BC+CE}=\frac{BE}{BC+CE}\Rightarrow\frac{BO}{BE}=\frac{BC}{BC+CE}\) 

Xét tg BCF có

\(\frac{CO}{FO}=\frac{BC}{BF}\Rightarrow\frac{CO}{BC}=\frac{FO}{BF}=\frac{CO+FO}{BC+BF}=\frac{CF}{BC+BF}\Rightarrow\frac{CO}{CF}=\frac{BC}{BC+BF}\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{BC.BC}{\left(BC+CE\right)\left(BC+CF\right)}=\frac{BC^2}{\left(BC+CE\right)\left(BC+BF\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2.BC^2=\left(BC+CE\right)\left(BC+BF\right)=BC^2+BC.BF+BC.CE+CE.CE\)

\(\Rightarrow BC^2=BC.BF+BC.CE+CE.BF\) (*)

Xét tg ABC cũng áp dụng định lý đường phân giác có

\(\frac{BF}{AF}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow\frac{BF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{BF+AF}{BC+AC}=\frac{AB}{BC+AC}\Rightarrow BF=\frac{BC.AB}{BC+AC}\)  (1)

\(\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow\frac{CE}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{CE+AE}{BC+AB}=\frac{AC}{BC+AB}\Rightarrow CE=\frac{BC.AC}{BC+AB}\) (2)

Thay (1) và (2)  vào (*) ta có

\(BC^2=\frac{BC.BC.AB}{BC+AC}+\frac{BC.BC.AC}{BC+AB}+\frac{BC.AC.BC.AB}{\left(BC+AB\right)\left(BC+AC\right)}\)

\(\Rightarrow1=\frac{AB}{BC+AC}+\frac{AC}{BC+AB}+\frac{AC.AB}{\left(BC+AB\right)\left(BC+AC\right)}\)

=> (BC+AB)(BC+AC)=AB(BC+AB)+AC(BC+AC)+AB.AC

=> BC²+AC.BC+AB.BC+AB.AC=AB.BC+AB²+AC.BC+AC²+AB.AC => BC²=AB²+AC²

=> tam giác ABC vuông tại A (định lí pitago đảo)

đặt AB=c, AC=b, BC=a

ta có:

\(\frac{EC}{AE}=\frac{BC}{AB}\)(vì BE là phân giác goc B của tam giác ABC)

\(\Leftrightarrow\frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{AB}hay\frac{EC}{b-EC}=\frac{a}{c}\Rightarrow EC.c=ab-a.EC\)

\(\Leftrightarrow EC.c+a.EC=ab\Leftrightarrow EC\left(a+c\right)=ab\Rightarrow EC=\frac{ab}{a+c}\)

\(\frac{BF}{ÀF}=\frac{BC}{AC}\) (vì CF là phân giác góc C của tam giác ABC)

\(\Leftrightarrow\frac{BF}{AB-BF}=\frac{BC}{AC}hay\frac{BF}{c-BF}=\frac{a}{b}\Rightarrow b.BF=ac-a.BF\Leftrightarrow b.BF+a.BF=ac\Leftrightarrow BF\left(a+b\right)=ac\Rightarrow BF=\frac{ac}{a+b}\)

lại có:

\(\frac{OB}{OE}=\frac{BC}{EC}\) (vì CO là phân giác góc C của tam giác CEB)

\(\Rightarrow\frac{OB}{OB+OE}=\frac{BC}{BC+EC}hay\frac{OB}{BE}=\frac{a}{a+\frac{ab}{a+c}}=\frac{a}{\frac{a\left(a+c\right)+ab}{a+c}}=\frac{a\left(a+c\right)}{a\left(a+b+c\right)}=\frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\)

\(\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{BF}\)(BO là phân giác góc B của tam giác BFC)

\(\Rightarrow\frac{OC}{OF+OC}=\frac{BC}{BC+BF}\Leftrightarrow\frac{OC}{CF}=\frac{BC}{BC+CF}hay\frac{OC}{CF}\frac{a}{a+\frac{ac}{a+b}}=\frac{a}{\frac{a\left(a+b\right)+ac}{a+b}}=\frac{a\left(a+b\right)}{a\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{a+b}{a+b+c}\left(2\right)\)

nhân (1) và (2) vế theo vế ta được: \(\frac{OB}{BE}.\frac{OC}{CF}=\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

theo đề bài thì \(\frac{OB}{BE}.\frac{OC}{CF}=\frac{1}{2}\)

nên: \(\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)

=> 2(a+c)(a+b)=(a+b+c)²

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+ac+bc+ab\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2ac+2bc+2ab=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\) hay BC²=AB²+AC² => tam giác ABC vuông tại A( theo định lí pytago đảo)

Đặt BC = a; AC = b; AB = c

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABC\)vuông tại A, ta có: \(a^2=b^2+c^2\)

\(\Rightarrow2a^2+2ab+2bc+2ca=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a+b\right)\left(a+c\right)=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)(1)

Áp dụng định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có:

\(\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{CE}{AE+CE}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow\frac{CE}{b}=\frac{a}{a+c}\)

\(\Rightarrow CE=\frac{ab}{a+c}\)

Lại áp dụng định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có:

\(\frac{BO}{OE}=\frac{BC}{CE}=\frac{a}{\frac{ab}{a+c}}=a.\frac{a+c}{ab}=\frac{a+c}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{OE+BO}=\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{BO}{BE}\)

Tương tự ta có: \(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

dùng hlt trong tam giác 

CÓ VỀ ĐỀ BÀI SAI Ở CHỖ ĐẲNG THỨC ! 

tưởng bài lớp 7 vì mình mới lớp 7 nhưng dễ mà bạn

Chúng ta lại gặp nhau nữa rồi :v

Đặt BC = a , CA = b , AB = c

Do BE là phân giác của góc B, nên \(\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}\)  hay \(\frac{AE}{AE+EC}=\frac{c}{a+c}\)

hay \(\frac{AE}{AC}=\frac{c}{a+c}\Rightarrow AE=\frac{bc}{a+c}\)( 1 )

Do AO là phân giác của góc A trong tam giác AEB, nên: \(\frac{OB}{OE}=\frac{AB}{AE}\)

Kết hợp với (1) ta lại có: \(\frac{BO}{OE}=c:\frac{bc}{a+c}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{OB}{OE}=\frac{a+c}{b}\Rightarrow\frac{BO}{OE+OB}=\frac{a+c}{a+b+c}\)hay \(\frac{OB}{BE}=\frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)

Nên \(BO.OC=BE.\frac{CF}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(BO:BE\right).\left(CO:CF\right)=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{a+b}{a+b+c}=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+c\right)\left(a+b\right)=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2=b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\)Tam giác ABC vuông ở A ( ĐPCM )

mấy bạn ấn chữ đọc tiếp mới thấy câu trả lời của mình nhé :3

Bài bạn dưới sai từ đầu rồi nhé

Bởi vì c/a là tỉ số không thể thay AE=c như đoạn cuối dòng 2 nha