Câu hỏi của hoàng thị huyền trang - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

Từ giả thiết: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7\Leftrightarrow\sqrt{c}=7-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

Xét hạng tử: \(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}=\frac{1}{\sqrt{ab}+7-\sqrt{a}-\sqrt{b}-6}=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}\)

Từ đó: \(N=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{c}-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}{\sqrt{abc}-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-1}\)

\(=\frac{7-3}{3-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+7-1}=\frac{4}{9-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}\)

Mặt khác: \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=13\)

Suy ra: \(N=\frac{4}{9-13}=-1\). Kết luận: N = -1.

Từ giả thiết: \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7\Leftrightarrow\sqrt{c}=7-\sqrt{a}-\sqrt{b}a​+b​+c​=7⇔c​=7−a​−b​

Xét hạng tử: \frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}=\frac{1}{\sqrt{ab}+7-\sqrt{a}-\sqrt{b}-6}=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}ab​+c​−61​=ab​+7−a​−b​−61​=(a​−1)(b​−1)1​

Từ đó: N=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{c}-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}N=(a​−1)(b​−1)1​+(b​−1)(c​−1)1​+(c​−1)(a​−1)1​

=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}{\sqrt{abc}-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-1}=(a​−1)(b​−1)(c​−1)a​+b​+c​−3​=abc​−(ab​+bc​+ca​)+(a​+b​+c​)−1a​+b​+c​−3​

=\frac{7-3}{3-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+7-1}=\frac{4}{9-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}=3−(ab​+bc​+ca​)+7−17−3​=9−(ab​+bc​+ca​)4​

Mặt khác: \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=13ab​+bc​+ca​=2(a​+b​+c​)2−(a+b+c)​=13

Suy ra: N=\frac{4}{9-13}=-1N=9−134​=−1. Kết luận: N = -1.

Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

mà \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7;a+b+c=23\)nên \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=13\)

Ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7\Rightarrow\sqrt{c}-6=-\sqrt{a}-\sqrt{b}+1\)

nên \(\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6=\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}+1=\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)\)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6=\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)\\\sqrt{ac}+\sqrt{b}-6=\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)\end{cases}}\)

Vậy \(H=\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{b}-6}\)

\(=\frac{1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt{c}-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{c}-1+\sqrt{a}-1+\sqrt{b}-1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)\left(\sqrt{c}-1\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-3}{\sqrt{abc}+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}=\frac{7-3}{3+7-13-1}=-1\)

\(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)

Tương tự và cộng lại \(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

chưa tìm thấy bài nào thực sự khó ơ câu hỏi hay cả buồn thật 

Khó 😩 hay suy nghỉ mà đau 🦁🦁🦁🦁

bạn vào đây tham khảo nè 

Câu hỏi của Tuấn Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

hơi lằng nhằng 1 chút

\(P=\frac{a}{\sqrt{a+2c}+1}+\frac{b}{\sqrt{b+2a}+1}+\frac{c}{\sqrt{c+2b}+1}\)

áp dụng cô si ta có:

\(\left(\sqrt{a+2c}+1\right)^2\le2\left(a+2c+1\right)=2\left(2a+b+3c\right)\)

tương tự \(\Rightarrow P\ge\frac{a}{\sqrt{2\left(2a+b+3c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{2\left(2b+c+3a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{2\left(2c+a+3b\right)}}\)

mà \(\sqrt{2\left(2a+b+3c\right)}\le\frac{2a+b+3c+2}{2}=\frac{4a+3b+5c}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2a}{4a+3b+5c}+\frac{2b}{4b+3c+5a}+\frac{2c}{4c+3a+5b}\)

\(=\frac{2a^2}{4a^2+3ab+5ac}+\frac{2b^2}{4b^2+3bc+5ab}+\frac{2c^2}{4c^2+3ac+5bc}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)