1.Cho tỉ lệ thức \(\frac{x+2}{y+3}\)= \(\frac{2}{3}\)(y khác 0)
Tính giá trị của biểu thức : A = \(\frac{x^2+y^2}{xy}\)
Cho hai số thực c,y khác 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện (x+y)xy=x2+y2-xy
Tính giá trị lớn nhất chủa biểu thức \(A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\)
Ta có (x+y)xy=x2+y2-xy
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{xy}\)
<=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)
<=> \(0\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le4\)
mà \(A=\frac{1}{x^3+y^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\le16\)
Vậy Max A =16 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
1. Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau, thõa mãn a+b+c=0. Tính giá trị biểu thức: \(Q=\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)\)
2.Cho biểu thức: \(C=\frac{x^2}{x+y-xy-y^2}-\frac{y^2}{x+y+xy+y^2}\); \(D=\frac{x^2y^2+x^2y^3}{1+x-y^2-xy^2}\)
a) Tính : C-D
b) Tìm các cặp giá trị nguyên (x;y) để C-D=10
1)cho x; y là 2 số khác nhau thỏa mãn: \(x^2+y=y^2+x\)
tính giá trị biểu thức: \(P=\frac{x^2+y^2+xy}{xy-1}\)
2)cho biểu thức: \(P=\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)
a)tìm các giá trị của x sao cho \(P=\frac{1}{2}\)
b) chứng minh \(P\le\frac{2}{3}\)
1) \(x^2+y=y^2+x\Leftrightarrow x^2-y^2-\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=x\\y=1-x\end{cases}}\). Vì x,y là hai số khác nhau nên ta loại trường hợp x = y. Vậy ta có y = x-1.
\(P=\frac{x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)-1}=\frac{x^2+x^2-2x+1-x^2+x}{-x^2+x-1}\)
\(=\frac{x^2-x+1}{-\left(x^2-x+1\right)}=-1\)
cho x,y,z đôi một khác nhau và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\). Tính giá trị của biểu thức :
\(A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)nhân lần lượt với x; y; z, ta có:
\(1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}=0\)(1)
\(1+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}=0\)(2)
\(1+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}=0\)(3)
Từ: (1); (2) và (3) => \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}=-3\)(*)
Mặt khác: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)quy đồng ta có:
\(\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=0\)hay xy + yz + zx = 0
Hay: \(\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right).\left(xy+yz+zx\right)=0\)
Khai triển, ta có:
\(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}=0\)
Vậy: \(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right)=3\)
hình như bạn lộn r, đề đâu có biểu tính phép tính đó
cho x,y,z đôi một khác nhau và 1/x+1/y+1/z=0. tính giá trị của biểu thức: A=\(\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}\)
1. a. Tìm x,y,z biết x2+4y2= 2xy +1 và z2=2xy -1
b. cho x+y+z=1 và\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)Tính Giá trị biểu thức B= x2+y2+z2
2. Cho x,y khác 0 thỏa mãn x+y=xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A=\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
Bài \(1a.\) Tìm \(x,y,z\) biết \(x^2+4y^2=2xy+1\) \(\left(1\right)\) và \(z^2=2xy-1\) \(\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(x^2+4y^2+z^2=4xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-4xy+4y^2+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2y\right)^2+z^2=0\)
Do \(\left(x-2y\right)^2\ge0\) và \(z^2\ge0\) với mọi \(x,y,z\)
nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra \(\left(x-2y\right)^2=0\) và \(z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(^{x-2y=0}_{z^2=0}\) \(\Leftrightarrow\) \(^{x=2y}_{z=0}\)
Từ \(\left(2\right)\), với chú ý rằng \(x=2y\) và \(z=0\), ta suy ra:
\(2xy-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(2.\left(2y\right).y-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(4y^2-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(y^2=\frac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow\) \(y=\frac{1}{2}\) hoặc \(y=-\frac{1}{2}\)
\(\text{*)}\) Với \(y=\frac{1}{2}\) kết hợp với \(z=0\) \(\left(cmt\right)\) thì \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(2.x.\frac{1}{2}-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
\(\text{*)}\) Tương tự với trường hợp \(y=-\frac{1}{2}\), ta cũng dễ dàng suy ra được \(x=-1\)
Vậy, các cặp số \(x,y,z\) cần tìm là \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}\)
\(b.\) Vì \(x+y+z=1\) nên \(\left(x+y+z\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1\) \(\left(3\right)\)
Mặt khác, ta lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) \(\Rightarrow\) \(xy+yz+xz=0\) \(\left(4\right)\) (do \(xyz\ne0\))
Do đó, từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2+z^2=1\)
Vậy, \(B=1\)
Ta có:
\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(xy\right)^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}\) (do \(x+y=xy\)) \(\left(5\right)\)
Dễ dàng chứng minh được với mọi \(x,y\in R\), ta luôn có:
\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số \(\left(1^2+1^2\right)\) và \(\left(x^2+y^2\right)\), ta được:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(1.x+1.y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)
Do đó, \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\), hay \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\) \(\left(đpcm\right)\)
Vậy, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) hiển nhiên đúng với mọi \(x,y\in R\), tức bđt \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh.
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y\)
Khi đó, từ \(\left(\text{*}\right)\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}\) (do hai vế của bđt \(\left(\text{*}\right)\) cùng dấu \(\left(+\right)\))
nên \(\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{x^2+y^2}{2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{1}{2}\) (vì \(x^2+y^2>0\) với mọi \(x,y\in R\) và \(x,y\ne0\)) \(\left(6\right)\)
\(\left(5\right);\) \(\left(6\right)\) \(\Rightarrow\) \(A\ge\frac{1}{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(^{x+y=xy}_{x=y}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=2\)
Vậy, GTNN của \(A=\frac{1}{2}\)
Cho x,y,z đôi một khác nhau và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
Tính giá trị biểu thức A=\(\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}\)
1)cho x; y là 2 số khác nhau thỏa mãn: \(x^2+y=y^2+x\)
tính giá trị biểu thức: \(P=\frac{x^2+y^2+xy}{xy-1}\)
2)cho biểu thức: \(P=\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)
a)tìm các giá trị của x sao cho \(P=\frac{1}{2}\)
b) chứng minh \(P\le\frac{2}{3}\)
cho x,y,z đôi một khác nhau và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
Tính giá trị của biểu thức : \(A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}\)
Chi tiết nha ......................