a: Xét ΔAPE vuông tại p và ΔAPh vuông tại P có

AP chung

PE=PH

DO đó: ΔAPE=ΔAPH

Xét ΔAQH vuông tại Q và ΔAQF vuông tại Q có

AQ chung

QH=QF

Do đó: ΔAQH=ΔAQF

b: Ta có: ΔAHP=ΔAEP

nen góc HAP=góc EAP

=>AB là phân giác của góc HAE(1)

Ta có: ΔAHQ=ΔAFQ

nen góc FAC=góc HAC

=>AC là phân giác của góc HAF(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc FAE=2x90=180 độ

=>F,A,E thẳng hàng

mà AE=AF

nên A là trung điểm của FE

Xét tam giác vuông FQA và tam giác vuông HQA:

QA chung

FQ = HQ

=>  tam giác FQA = tam giác HQA (2 cạnh góc vuông)                                           (1)

=> QAF = QAH (2 góc tương ứng)

Xét tam giác vuông HPA và tam giác vuông EPA:

AP chung

PH = PE 

=> tam giác HPA = tam giác EPA (2 cạnh góc vuông)                                         (2)

=> HAP = EAP (2 góc tương ứng)

Ta có: QAH + PAH =QAP =90o

và FAQ + QAH + HAP +PAE= 2 * QAH + 2* HAP = 2 (QAH + HAP) = 2* 90o = 180o

=> E, A, F thẳng hàng

Ta có: 

HP _|_ AB; CA _|_ AB  =>HP // AB

=> QAH = PHA (sole trong)

Xét tam giác vuông AQH và tam giác vuông HPA:

AH chung

QAH = PHA

=>  tam giác AQH = tam giác HPA (cạnh huyền_ góc nhọn)                           (3)

 Từ (1), (2), (3) => tam giác FQA = tam giác APE => AF= AE (2 cạnh tương ứng)

Mà E, A, F là 3 điểm thẳng hàng => A nằm giữa E và F.

Vậy E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF

Q là O hả bạn

a) Xét ΔAHP vuông tại P và ΔAEP vuông tại P có 

AP chung

HP=EP(gt)

Do đó: ΔAHP=ΔAEP(Hai cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{HAP}=\widehat{EAP}\)(hai góc tương ứng)

Xét ΔFAQ vuông tại Q và ΔHAQ vuông tại Q có 

AQ chung

QF=QH(gt)

Do đó: ΔFAQ=ΔHAQ(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{FAQ}=\widehat{HAQ}\)(hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{FAE}=\widehat{FAQ}+\widehat{HAQ}+\widehat{HAP}+\widehat{PAE}\)
\(=2\cdot\left(\widehat{HAQ}+\widehat{HAP}\right)\)

\(=2\cdot90^0=180^0\)

hay F,A,E thẳng hàng

Ta có: AH=AE(ΔAHP=ΔAEP)

mà AH=AF(ΔAQF=ΔAQH)

nên AE=AF

Ta có: F,A,E thẳng hàng(cmt)

mà AE=AF(cmt)

nên A là trung điểm của FE(đpcm)

a: Xét ΔAPE vuông tại p và ΔAPh vuông tại P có

AP chung

PE=PH

DO đó: ΔAPE=ΔAPH

Xét ΔAQH vuông tại Q và ΔAQF vuông tại Q có

AQ chung

QH=QF

Do đó: ΔAQH=ΔAQF

b: Ta có: ΔAHP=ΔAEP

nen góc HAP=góc EAP

=>AB là phân giác của góc HAE(1)

Ta có: ΔAHQ=ΔAFQ

nen góc FAC=góc HAC

=>AC là phân giác của góc HAF(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc FAE=2x90=180 độ

=>F,A,E thẳng hàng

mà AE=AF

nên A là trung điểm của FE

c: Xét ΔAHB và ΔAEB có

AH=AE

góc HAB=góc EAB

AB chung

Do đo: ΔAHB=ΔAEB

Suy ra: góc AEB=90 độ

=>BE vuông góc với EF(3)

Xét ΔCHA và ΔCFA có

CH=CF

AH=AF

CA chung

Do đó: ΔCHA=ΔCFA

Suy ra góc CFA=90 độ

=>CF vuông góc với FE(4)

Từ (3) và (4) suy ra BE//CF

Bài làm

a) Xét ΔAPE và ΔAPH có:

AP (chung)

/ EPA = / HPA = 90^o 

PE = PH (gt)

Do đó: ΔAPE = ΔAPH( c−g−c )

Xét ΔAQH và ΔAQF có:

AQ (chung)

/ AQH = / AQF = 90^o 

AH = AF (gt)

Do đó: ΔAQH=ΔAQF(c−g−c)

b) Vì ΔAPE = ΔAPH ( cmt )

=> EA = AH ( hai cạnh t/ứng )       ₍₁₎ 

=> Tam giác EAH cân tại A

Vì ΔAQH = ΔAQF ( cmt )

=> AH = AF  ( hai cạnh t/ứng )        ^₍₂₎  

Từ (1) và (2) => EA = AF 

=> A là trung điểm của EF 

~ Mik quên cách chứng minh thẳng hàng rồi. ~
# Học tốt #

a: Xét ΔAPE vuông tại p và ΔAPh vuông tại P có

AP chung

PE=PH

DO đó: ΔAPE=ΔAPH

Xét ΔAQH vuông tại Q và ΔAQF vuông tại Q có

AQ chung

QH=QF

Do đó: ΔAQH=ΔAQF

b: Ta có: ΔAHP=ΔAEP

nen góc HAP=góc EAP

=>AB là phân giác của góc HAE(1)

Ta có: ΔAHQ=ΔAFQ

nen góc FAC=góc HAC

=>AC là phân giác của góc HAF(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc FAE=2x90=180 độ

=>F,A,E thẳng hàng

mà AE=AF

nên A là trung điểm của FE

to cung dang nghi bai day

=> Tam giác EAH cân tại A

Vì ΔAQH = ΔAQF ( cmt )

=> AH = AF  ( hai cạnh t/ứng )        ^₍₂₎  

Từ (1) và (2) => EA = AF 

=> A là trung điểm của EF 

=> F,E,A thẳng hàng 

a) Vì HP\(\perp\)AB 

=> HPA = 90° 

Mà PH = PE

=> PA là trung trực của EH 

=> ∆EAH cân tại A 

=> AE = AH 

=> AEH = AHE 

Xét ∆ vuông AEP và ∆ vuông AHP ta có

AE = AH 

AP chung 

=> ∆AEP = ∆AHP (ch-cgv)

Vì HQ\(\perp\)AC 

=> HQA = 90° 

Mà HQ = QF 

=> AQ là trung trực HF 

=> ∆AHF cân tại A 

=> ∆AHQ = ∆FAQ (ch-cgv)

b) Vì ∆AHF cân tại A 

=> AH = FA 

Mà EA = AH 

=> EA = AH = FA 

=>AH = \(\frac{1}{2}\)FE 

=> ∆EHF cân tại H 

=> A \(\in\)FE 

=> A là trung điểm FE 

=> F,E,A thẳng hàng 

a. Tam giac APE = tam giác APH (cgc)
Tam giác AQH = tam giác AQF (cgc)
b. Tam giac APE = tam giác APH (CMT) => goc EAP= goc HAP
=> goc EAH= 2 goc HAP
tg tu ta co goc HAF = 2 goc HAQ
Nen goc EAH + goc HAF=2(goc HAP+ goc HAQ)
=> goc EAH + goc HAF=2 goc BAC
=> goc EAH + goc HAF=2.90 do=180 do
=> E, A, F thang hang
c. Vì PE=PH, mà PH lại vuông góc vs AB 
=> BP là đường trung trực của EH 
=> ∆BEH là tam giác cân 
=> Góc E= góc BHE 
Tương tự vậy ∆CHF cũng cân 
=> Góc F= góc CHF 
Lại có HQ vuông góc AB, BA vuông AC( vì BAC là góc vuông) 
=> AB//HQ 
=> góc PHQ=90độ ( trong cùng phía vs góc AQH) 
Vậy ta có góc EHB + góc FHC =90 độ 
Ta có góc E+ góc EBH+góc EHB + góc FHC+ góc F+ FCH = 360 độ ( = tổng 6 gióc 2 tam giác BEH và CFH) 
<=>2(góc EHB+góc FHC) + góc EBH + góc FCH = 360 độ 
<=>2.90 độ + góc EBH + góc FCH = 360 độ 
<=> góc EBH + góc FCH = 360 độ - 180 độ = 180 độ 
Ta thấy Góc EBH và góc FCH ở vị trí trong cùng phía bù nhau 
=>BE//CF 

 A.       •  Xét tam giác APE và APH có:

                                 PE= PH ( gt)

                                 PA chung

                                góc EPA = góc HPA ( = 90 độ)

                                → tam giác APE = tam giác APH (c.g.c )

        • CMTT : tam giác AQH = Tam giác AQF (c.g.c)

B.      Do tg EPA = tg HPA → AH= EA

             tg AQH = tg AQF → AH=AF

→ EA = AF

Mà điểm A nằm giữa E và F

→ ĐPCM