Giải:

Giả sử \(p\) là số nguyên tố.

Từ \(a^2b^2=p\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2⋮p\) hoặc \(a⋮p\) và \(b⋮p\left(1\right)\)

\(\Rightarrow a^2b^2⋮p^2\Rightarrow p\left(a^2+b^2\right)⋮p^2\Rightarrow a^2+b^2⋮p\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow a⋮p\) và \(b⋮p\)

Từ \(a\ge p,b\ge p\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\le\frac{2}{p^2}\Rightarrow\frac{1}{p}\le\frac{2}{p^2}\Rightarrow p\le2\left(3\right)\)

Từ \(a>2,b>2\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow p>2\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\Rightarrow\) Mâu thuẫn \(\Rightarrow p\) là hợp số (Đpcm).

Mà quá ngu vậy ăn cứt tao dmy

Bài 1:

Ta có \(\frac{m}{2}-\frac{2}{n}=\frac{1}{2}\)    =>\(\frac{m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{2}{n}\)

                                       =>\(\frac{m-1}{2}=\frac{2}{n}\)

              => n(m-1) = 4

              =>  n và m-1 thuộc Ư(4)={1;2;4}

Ta có bảng sau:

Vậy (m;n)=(2;4),(3;2),(5;1)

thiếu đề : phải là 1/p = 1/a^2 +1/b^2 thì mình giải dc

Giả sử p là số nguyên tố. Từ a^2.b^2=p(a^2+b^2)=>a^2+b^2chia hết cho p hoặc achia hết cho p và b chia hết cho p (1)

=> a^2.b^2 chia hết cho p^2 => p(a^2+b^2)chia hết cho p2 =>a2+b2 chia hết cho p (2). Từ (1) và (2) =>a chia hết cho p và b chia hết cho p.

Từ a\(\ge\)p , b\(\ge\)p => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\le\frac{2}{p^2}=>\frac{1}{p}\le\frac{2}{p^2}=>p\le2\left(3\right)\)

Từ a> 2, b > 2 => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow p>2\left(4\right)\)

Từ (3), (4) => mâu thuẫn  => p là hợp số.

đúng mình cái

bài 1b

+)Nếu n chẵn ,ta có \(n^4⋮2,4^n⋮2\Rightarrow n^4+4^n⋮2\)

mà \(n^4+4^n>2\)Do đó \(n^4+4^n\)là hợp số

+)nếu n lẻ đặt \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)

Ta có \(n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4=\left(n^2+2.4k\right)^2-2n^2.2.4^k\)

\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2\)

\(=\left(n^2+2^{2k+1}+2n.2^k\right)\left(n^2+2^{2k+1}-2n.2^k\right)\)

\(=\left(\left(n+2^k\right)^2+2^{2k}\right)\left(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}\right)\)

là hợp số,vì mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2

(nhớ k nhé)

Bài 2a)

Nhân 2 vế với 2 ta có

\(a^4+b^4\ge2ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Dẫu = xảy ra khi \(a=b\)

dat a+b=x b+c=y c+a=z \(\Rightarrow\) dt tro thanh \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\) \(\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) (bdt amgm)

tuong tu \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) \(\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)

\(\frac{\Rightarrow1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}.2\sqrt{\frac{xz}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}}.2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)

                =\(8.\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)dau = xay ra khi x=y=z=1/2 hay a=b=c=1/4

Hai số tự nhiên liên tiếp giải thích thế nào thò mình chịu