Question

cho a,b là các số tự nhiên và p là số tự nhiên   Thỏa mãn: \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) . CMR: p là hợp số.

Answer 1

Giả sử p là số nguyên tố .

Từ \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{p}\Rightarrow a^2b^2=p\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\) chia hết có p hoặc a chai hết cho p,b chia hết cho p (1) \(\Rightarrow a^2b^2\)chia het cho \(p^2\Rightarrow a^2+b^2\)chia het cho p(2).

Tu (1) va (2) => chia het cho p,b chia het cho p .Tu \(a\ge p,b\ge p\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\le\frac{2}{p^2}\Leftrightarrow\frac{1}{p}\le\frac{2}{p^2}\Rightarrow p\le2\left(3\right).\)

Tu a>2 ,b>2\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}2\left(4\right)\)

(3) và (4) mâu thuẫn => là hop số