b)    CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC

· Gọi F là giao của BD và CA.

Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)

= > B D B A = B M B E = > Δ B D M ~ Δ B A E ( c − g − c ) = > B M D = B E A

Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)

=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF

· Gọi T là giao điểm của CD và AH .

DBCD có TH //BD  = > T H B D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (3)

DFCD có TA //FD  = > T A F D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (4)

Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)

· Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH ÞT là trung điểm AH .

a) Ta có: Đường tròn (O) đường kính BC và 2 điểm D;E nằm trên (O)

=> ^BEC=^BDC=90⁰ => BD vuông AC; CE vuông AB

Mà BD gặp CE tại H => H là trực tâm \(\Delta\)ABC

=> AH vuông BC (tại F) hay AF vuông BC (đpcm).

b) Thấy: \(\Delta\)ADH vuông đỉnh D, M là trg điểm AH

=> \(\Delta\)DMA cân đỉnh M => ^MDA=^MAD (1).

Tương tự: \(\Delta\)DOC cân đỉnh O => ^ODC=^OCD (2).

(1) + (2) => ^MAD+^ODC = ^MDA+^ODC = ^MAD+^OCD

Mà 2 góc ^MAD; ^OCD phụ nhau (Do \(\Delta\)AFC vuông đỉnh F)

=> ^MDA+^ODC=90⁰ => ^MDO=90⁰ => MD vuông OD

Lập luận tương tự: ME vuông OE => Tứ giác MEOD có ^MEO=^MDO=90⁰

=> MEOD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

Xét tứ giác MFOD: ^MFO=^MDO=90⁰ => Tứ giác MFOD nội tiếp đường tròn đường kính MO.

Do đó: 5 điểm M;D;O;E;F cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM (đpcm).

c) Dễ c/m \(\Delta\)EBF ~ \(\Delta\)CDF (c.g.c) => ^EFB=^CFD

=> 90⁰ - ^EFB = 90⁰ - ^CFD => ^EFA=^DFA hay ^EFM=^MFD

Xét tứ giác FEMD: Nội tiếp đường tròn => ^EFM=^KDM => ^MFD=^KDM

=> \(\Delta\)MKD ~ \(\Delta\)MDF (g.g) => \(\frac{MD}{MF}=\frac{MK}{MD}\Rightarrow MD^2=MK.MF\)(đpcm).

Gọi I là giao điểm BK và MC.

Dễ thấy: \(\Delta\)FEK ~ FMD (g.g) => \(\frac{FE}{FM}=\frac{FK}{FD}\Rightarrow FE.FD=FM.FK\)

Hoàn toàn c/m được: \(\Delta\)EFB ~ \(\Delta\)CFD (c.g.c) => \(\frac{FE}{FC}=\frac{BF}{FD}\Rightarrow FE.FD=BF.FC\)

Từ đó suy ra: \(FM.FK=BF.FC\)\(\Rightarrow\frac{BF}{FM}=\frac{FK}{FC}\)

\(\Rightarrow\Delta\)BFK ~ \(\Delta\)MFC (c.g.c) => ^FBK=^FMC . Mà ^FMC+^FCM=90⁰

=> ^FBK+^FCM = 90⁰ hay ^FBI+^FCI=90⁰ => \(\Delta\)BIC vuông đỉnh I

=> BK vuông với MC tại điểm I.

Xét \(\Delta\)MBC: BK vuông MC (cmt); MK vuông BC (tại F) => K là trực tâm \(\Delta\)MBC (đpcm).

d) Thấy ngay: EH là phân giác trong của \(\Delta\)FEK. Mà EA vuông EH

=> EA là phân giác ngoài tại đỉnh E của \(\Delta\)FEK

Theo ĐL đường phân giác trg tam giác: \(\frac{KH}{FH}=\frac{AK}{AF}\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{KH}{FH}=1+\frac{AK}{AF}\Rightarrow\frac{FK}{FH}=\frac{AK+AF}{AF}\Leftrightarrow\frac{FK}{FH}=\frac{FK+2AK}{AF}\)

\(\Leftrightarrow\frac{FK}{FH}=\frac{FK}{AF}+\frac{2AK}{AF}\Leftrightarrow\frac{FK}{AF}=\frac{FK}{FH}-\frac{2AK}{AF}\)

\(\Leftrightarrow\frac{FK}{AF}+\frac{FK}{FH}=\frac{2FK}{FH}-\frac{2AK}{AF}=2+\frac{2KH}{FH}-2+\frac{2KF}{AF}=\frac{2KH}{FH}+\frac{2KF}{AF}\)

\(\Rightarrow FK\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{FH}\right)=\frac{2KH}{FH}+\frac{2KF}{AF}\)

Đến đây, lại thay: \(\frac{KH}{FH}=\frac{AK}{AF}\)(T/c đg phân giác)

\(\Rightarrow FK\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{FH}\right)=\frac{2\left(AK+KF\right)}{AF}=\frac{2AF}{AF}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AF}+\frac{1}{FH}=\frac{2}{FK}.\)(đpcm). 

d.

Xét△FBH và △FAC có BFH=AFC=90*,FBH=FAC(cùng phụ BCD)

=>△FBH∼ △FAC(g.g) =>FH.FA=FB.FC .

Xét△FBK và △FMC có BFK=MFC=90*, FBK=FMC

=>△FBK ∼ △FMC(g.g)=>FK.FM=FB.FC .

=>FH.FA=FK.FM

Mà FH+FA=FM-MH+FM+MA=2FM

Ta có 2FH.FA=2FK.FM=>2FH.FA=FK(FH+FA)=>KL

e) vì AC vuông góc vs BK , KE ( kéo dài ED)vuông góc với BC mà AC và KE cắt nhau tại D => D là trực tâm của tam giác KBC => BD vuoogn góc với KC ( 1 ) .M là trung điểm của KC => BM là đường cao đồng thời là đường trung trực của tam giác KBC ( 2 ) . từ  ( 1 ) và ( 2 ) => B, D , M thằng hàng