Ta có:

\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)=\frac{b+d}{2bd}\)

\(\Rightarrow2bd=c\left(b+d\right)\left(2\right)\)

Do b là TBC của a và c nên \(b=\frac{a+c}{2}\)

Thay vào (1) ta có: \(2.\frac{a+c}{2}.d=c.\left(\frac{a+c}{2}+d\right)\)

=> (a + c).d = \(\frac{c.\left(a+c+2d\right)}{2}\)

=> (a + c).2d = c.(a + c + 2d)

=> 2ad + 2cd = ac + c² + 2cd

=> 2ad = ac + c² = c.(a + c) = c.2b

=> ad = bc

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đpcm\right)\)

Theo đề ta có : \(b=\frac{a+c}{2}\)  

=> a+c=2b (1)

 Do \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)\)

             = \(\frac{1}{2}\div\left(\frac{d}{bd}+\frac{b}{bd}\right)=\frac{1}{2}.\frac{b+d}{2bd}\)

                => \(\frac{1}{c}=\frac{b+d}{2bd}\)

               => 2bd= (b+d).c = bc+dc (2)

   Từ (1) và (2) 

 => 2bd = (a+c).d= ad+cd=bc+cd

                           => ad=bc

 Mà ad=bc (=) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

     => a;b;c;d lập thành 1 tỉ lệ thức

 \(\frac{1}{2}.\left(\frac{d}{bd}+\frac{b}{bd}\right)\) chứ không phải chia nha bạn , mình viết lộn

                                               Bài giải

1  Vì : \(b=\frac{a+c}{2}\)     

=> 2b = a+c                        (1)

\(Vì\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)=>\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{b+d}{bd}\right)=\frac{b+d}{2bd}\)  

=> 2bd = c .(b+d)                          (2)

Vì :  2b = a + c

=> 2bd = b .( a +c )

       c.(b+d) = d.(a + c )

\(=>\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a+c-c}{b+d-d}=\frac{a}{b}\)

=>    \(\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\)

Vậy a , b , c , d có thể lập thành một tỉ lệ thức ( đpcm )

2.     Áp dụng t/c của dãy tí số bằng nhau , ta có :

         \(\frac{2x+1}{5}=\frac{3y-2}{7}=\frac{2x+1+3y-2}{5+7}=\frac{2x+3y-1}{12}=\frac{2x+3y-1}{6x}\)

=>  12=6x

=> x= 12 : 6

=> x = 2

Thay số vào ta có : \(\frac{2.2+1}{5}=\frac{3y-2}{7}=\frac{5}{5}=1\)

   => 3y - 2 = 7 . 1 = 7

  => 3y = 7 + 2 = 9

  => y                = 3

Vậy  : x = 2

          y = 3

Ta có:\(\frac{2x+1}{5}=\frac{3y-2}{7}=\frac{2x+1+3y-2}{5+7}=\frac{2x+3y-1}{12}\)(T/C)

\(\Rightarrow6x=12\)

\(\Rightarrow\)x=2

Thay x=2 vào đề ta có:

\(\frac{2\cdot2+1}{5}\)=\(\frac{3y-2}{7}\)=1

\(\Rightarrow3y-2=7\)

3y=9

y=3

Vậy x=2;y=3

quá dễ ! coi nè @Thái Minh Hà

+) b là trung bình cộng của a và c => a + c  = 2b

+) \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{2}{d}\right)\) => \(\frac{1}{c}=\frac{d+2b}{2bd}\) => 2bd = c(d + 2b) . Thay 2b = a + c ta có: 

(a + c)d = c.(d + a + c) => ad + cd = cd + ac + c² => ad = ac + c² => ad = c.(a + c) => ad = cb => \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (điều phải chứng minh)

Bạn xem tại đây

cô Loan ơi 1/d chứ có phải 2/d đâu cô