Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)

Vì \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow lal,lbl,lcl\le1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge a^3\\b^2\ge b^3\\c^2\ge c^3\end{cases}}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge a^3+b^3+c^3=1\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=a^3\\b^2=b^3\\c^2=c^3\end{cases}}\)

Mà theo giả thuyết thì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\ge c\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=c=0\end{cases}}}\)

Vậy C = 1

Tương tự với các trường hợp giả sử về a,b,c khác ta luôn có giá trị C = 1

Giả sử\(a\ge b\ge c\)(ko mất tính tổng quát) .Ta có :\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=1\\a^2;b^2;c^2\ge0\end{cases}\Rightarrow a^2;b^2;c^2\le1\Rightarrow|a|;|b|;|c|\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge a^3\\b^2\ge b^3\\c^2\ge c^3\end{cases}\Rightarrow}a^2+b^2+c^2\ge a^3+b^3+c^3=1}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=a^3\\b^2=b^3\\c^2=c^3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a,b,c\in\left\{0;1\right\}\\a^2+b^2+c^2=1\\a\ge b\ge c\end{cases}}\Rightarrow a=1;b=c=0\Rightarrow a^2+b^9+c^{1945}=1}\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a^2,b^2,c^2\le1\)

\(\Rightarrow a,b,c\le1\)

Ta lại có: \(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2+b^3-b^2+c^3-c^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)=0\)

Mà \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)\le0\)với mọi a,b,c (vì \(a^2,b^2,c^2\le0\)và\(a,b,c\le1\))

Suy ra ta phải có: \(a^2\left(a-1\right)=b^2\left(b-1\right)=c^2\left(c-1\right)=0\)

Kết hợp gt suy ra 3 số a,b,c phải là một số bằng 1 và 2 số còn lại bằng 0.

Vì a,b,c vai trò như nhau nên giả sử \(a=1\Rightarrow b=c=0\)

Khi đó \(C=a^2+b^9+c^{1945}=1+0+0=1\)

a)\(A=4x^2+4x+11\)

\(=4x^2+4x+1+10\)

\(=\left(2x+1\right)^2+10\ge10\)

Dấu = khi \(x=\frac{-1}{2}\)

Vậy MinA=10 khi \(x=\frac{-1}{2}\)

b)\(B=3x^2-6x+1\)

\(=3x^2-6x+3-2\)

\(=3\left(x^2-2x+1\right)-2\)

\(=3\left(x-1\right)^2-2\ge-2\)

Dấu = khi \(x=1\)

Vậy MinB=-2 khi \(x=1\)

c)\(C=x^2-2x+y^2-4y+6\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1\ge1\)

Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}}\)

Vậy MinC=1 khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}}\)