Ta có:

E là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BC (gt) nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

\(\Rightarrow\) EF // CD hay EF // CH.

\(\Delta\)AHD vuông tại H có HE là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AD.

Ta có: HE = ED = \(\frac{1}{2}\) AD (tính chất tam giác vuông)

\(\Rightarrow\Delta\) EDH cân tại E \(\Rightarrow\widehat{D}\) = \(\widehat{H}\) ₁(tính chất tam giác cân)

\(\widehat{D}\)=\(\widehat{C}\)(vì ABCD là hình thang cân)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{H}\)₁ = \(\widehat{C}\)\(\Rightarrow\) EH // CF (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Vậy tứ giác EFCH là hình bình hành.

#Trang

*Có AH ⊥ CD ⇒ ∆ AHD vuông tại H

E là trung điểm của AD ⇒ HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD

⇒ HE = 1/2 AD (1)

*F là trung điểm của BC ⇒ CF = 1/2 BC (2)

Mà ABCD là hình thang cân ⇒ BC = AD (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: HE = CF (*)

*Mặt khác: EH = ED = 1/2 AD (Chứng minh trên)

⇒  ∆ EHD cân tại E

⇒ ∠ (EHD) =  ∠ (EDH)

Mà  ∠ (EDH) =  ∠ (FCH) (góc đáy hình thang cân)

⇒  ∠ (FCH) =  ∠ (EHD) (cùng bằng  ∠ (EDH))

⇒EH // FC (2 góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) (**)

Từ (*) và (**) ⇒ EFCH là hình bình hành (1 cặp cạnh song song và bằng nhau)

Ta có MA = MD, NC = NB (gt) và AD // BC.

⇒ SAMND = SMCDN (các hình thang có các đáy bằng nhau và chung đường cao)

Do EF // AD nên đường cao từ E và F xuống AD bằng nhau, lại có AM = DM

⇒ SAEM = SDFM

Tương tự SBEN = SNFC

⇒ SAMNB - (SAEM + SBEN) = SDMNC - (SBEN + SNFC)

hay SEMN = SFMN

Hai tam giác trên có chung cạnh MN nên đường cao tương ứng bằng nhau hay EP = FQ

Xét ΔEPO và ΔFQO có:

∠EOP = ∠QOF (đối đỉnh)

EP = PQ (cmt)

∠EPO = ∠FQO = 90o

Do đó ΔEPO = ΔFQO (ch–gn) ⇒ OE = OF hay O là trung điểm của EF.