Ta có x² + xy + y² = x² y²

<=> (x + y)² = xy(xy + 1) 

Mà x² y^2\(\le\)xy(xy + 1) \(\le\)(xy + 1)²

Không tồn tại số chính phương giữa 2 số chính phương liên tiếp nên để xy(xy + 1) là số chính phương thì nó phải là 1 trong hai số chính phương liên tiếp đó hay xy(xy + 1) = 0

Kết hợp với phương trình đầu thì nghiệm nguyên cần tìm là (x,y) = (0,0; 1,-1; -1,1) 

Kushito Kamigaya tham khảo nhé:

x² + (x+y)² = (x+9)² 
<=> (x+y)² = (x+9)² - x² 
<=> (x+y)² = 9(2x+9) (*) 
Vì: 9 = 3² nên từ (*) ta thấy (2x+9) phải là số chính phương 
=> 2x+9 = n² => 2x = (n-3)(n+3) => x = (n-3)(n+3)/2 
n-3 và n+3 cùng chẳn hoặc cùng lẽ, nên x nguyên dương khi n là số lẽ lớn hơn 3 
đặt n = 2k+1 với k > 1, (k nguyên) 
có: 2x + 9 = (2k+1)² = 4k²+4k+1 
=> x = 2k²+2k-4, thay x vào (*) 

(x+y)² = 9(2k+1)² => x+y = 3(2k+1) = 6k+3 => y = 6k+3-x 
=> y = 6k + 3 - 2k² - 2k + 4 = -2k² + 4k + 7 > 0 
=> k² - 2k < 7/2 => (k-1)² < 7/2+1 = 9/2 
=> k-1 < 3/√2 => k - 1 ≤ 2 => k ≤ 3 
với đk k > 1 ở trên ta chỉ chọn được k = 2 hoặc k = 3 

*k = 2 => x = 8, y = 7 

*k = 3 => x = 20, y = 1

sao ra x=y đc nhỉ 
pt đã cho có dạng  \(4x^2+8xy+4y^2+1=4x^2y^2+4xy+1\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2-\left(2xy-1\right)^2=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+2y+2xy-1\right)\left(2x+2y-2xy+1\right)=-1\)
Đến đây lập bảng nhé => được x y

\(x^2+xy+y^2=x^2y^2.\)

+ x =0; y =0  là nghiệm

+ x y khác  0

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=xy-1\in Z\)

=> x =y 

=> 3x² =x⁴ => x² = 3 loại

Vậy x = y =0 là nghiệm duy nhất

mk mới lớp 7

viết lại pt dưới dạng 

\(x^2-2x\left(y+2\right)+\left(2y^2+8\right)=0.\)

\(\Delta`x=\left(y+2\right)^2-\left(2y^2+8\right)=0\)

\(\Delta`=y^2+4y+4-2y^2-8=-y^2+4y-4=0\)

\(\Delta`=-\left(y-2\right)^2=0\Leftrightarrow y=2\)

thay y=2 

\(x^2-4x+8-4x=-8\)

\(x^2-8x+16=0\)

\(\left(x-4\right)^2=0\Leftrightarrow x=4\)

        \(x^2-2xy+2y^2-4x=-8\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+2y^2-4x+8=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+4y^2-8x+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2-8x+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x-4\right)^2=0\)

Ta có: \(\left(x-2y\right)^2+\left(x-4\right)^2\ge0\) \(\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra: \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2y=0\\x-4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2y\\x=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\x=4\end{cases}}}\) (thỏa mãn)

Vậy x = 4 và y = 2

Bài bạn gửi hay đấy .Chúc bạn học tốt.

thanks Pham Van Hung, Thiên Đạo Pain