Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKB vuông tại K có

AH=AK

góc HAD=góc KAB

=>ΔAHD=ΔAKB

=>AD=AB

=>ABCD là hình thoi

a/ Xét tg vuông AHD và tg vuông AKB có 

\(\widehat{BAK}+\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{DAH}+\widehat{ADC}=90^o\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (Hai góc đối của hbh)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{BAK}\)

=> tg AHD đồng dạng với tg AKB \(\Rightarrow\frac{AH}{AK}=\frac{DA}{AB}\) mà AB = DC (hai cạnh đối của hbh) \(\Rightarrow\frac{AH}{AK}=\frac{DA}{DC}\left(dpcm\right)\)

b/ Ta có K và H đều nhìn AC dưới 1 góc 90 độ

=> Tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC 

=> sđ \(\widehat{AKH}\) = sđ \(\widehat{ACH}\) = 1/2 sđ cung AH (Góc nội tiếp đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{ACH}\left(dpcm\right)\)

a: AH=1/3(24+AH)

=>2/3AH=8

=>AH=12cm

S=12*24=288cm²

b: AF*BC=AH*DC

=>AF*16=288

=>AF=18cm

Ta có:

AB đồng dạng với AD với tỉ số tỉ số k = 1 (vì hai cạnh đối sát của hình bình hành bằng nhau và song song).
Vậy diện tích tam giác ABH bằng diện tích tam giác ADK với tỷ số k.
Như vậy: S_ABH = k.S_ADK.
Tuy nhiên, ta cũng có: S_ABH = AB.AH và S_ADK = AD.AK (vì diện tích một tam giác bằng nửa tích các cạnh tạo thành đôi một với nó).
Vậy ta có: AB.AH = AD.AK.
Đây chính là điều cần chứng minh.

1: Xet ΔABH và ΔHDK có

góc ABH=góc HDK

góc AHB=góc HKD

=>ΔABH đồng dạng với ΔHDK

=>AB/HD=BH/DK=BN/DM

Xet ΔABN và ΔHDM có

góc ABN=góc HDM

AB/HD=BN/DM

=>ΔABN đồng dạng vơi ΔHDM

b: ΔOBN đồng dạng với ΔKDH

=>OB/KD=BN/DH

=>OB/BN=KD/DH

=>OB/2BN=DM/DH

=>OB/BH=DM/DH

Xét ΔOBH và ΔMDH có

góc OBH=góc MDH

OB/BH=MD/DH

=>ΔOBH đồng dạng với ΔMDH

=>góc OHB=góc DHM

=>O,H,M thẳng hàng