Cho x,y thỏa mãn : ( x+ \(\sqrt{x^2+2008}\)) ( y+\(\sqrt{y^2+2008}\)) . Tính x+y
Cho x,y thỏa mãn :\(\left(x+\sqrt{x^2+2008}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2008}\right)=2008\)
Tính x+y
a) Cho 0<x<y thỏa mãn \(2x^2+2y^2=5xy\). Tính E=\(\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\)
b) Cho x=\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}\)+ \(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\). Tính giá trị biểu thức
P=\(\left(2x^3-6x+2008\right)^{2021}\)
a)
Ta có: $2x^2+2y^2=5xy \Leftrightarrow 2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=5$
Đặt $t=\frac{x}{y}$, ta có $2t+\frac{1}{t}=5 \Rightarrow 2t^2-5t+1=0$
Giải phương trình trên ta được $t_1=\frac{1}{2}$ và $t_2=1$. Vì $0<x<y$ nên $t>0$, do đó $t=\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$.
Từ đó suy ra $x=\frac{y}{2}$ và thay vào biểu thức $E$ ta được:
$E=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{\frac{y^2}{4}+y^2}{\frac{y^2}{4}-y^2}=-\frac{5}{3}$
Vậy kết quả là $E=-\frac{5}{3}$.
đặt $a=\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}$, $b=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}$
Khi đó:
$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$
$$a^3+b^3=\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\right)^3= \frac{1}{3-2\sqrt{2}}+(3-2\sqrt{2})=4$$
$$ab=\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}\cdot\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\sqrt[3]{1}=1$$
Do đó, ta có:
$$(a+b)^3=4+3ab(a+b)=4+3(a+b)$$
Vậy $2x^3=2(a+b)^3=8+6(a+b)$ và $6x=6(a+b)$.
Thay vào biểu thức $P$, ta được:
$$P=\left(2x^3-6x+2008\right)^{2021}=\left(8+6(a+b)-6(a+b)+2008\right)^{2021}=2016^{2021}$$
Vậy kết quả là $P=2016^{2021}$.
Cho x,y,z dương thỏa mãn xy+yz+zx=2008. Chứng minh rằng giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào x,y,z.
\(M=x\sqrt{\dfrac{\left(2008+y^2\right)\left(2008+z^2\right)}{2008+x^2}}+y\sqrt{\dfrac{\left(2008+z^2\right)\left(2008+x^2\right)}{2008+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(2008+x^2\right)\left(2008+y^2\right)}{2008+z^2}}\)
M = x.√[(2008+y²).(2008+z²)\(2008+x²)] + y.√[(2008+x²).(2008+z²)\(2008+y²)] + z.√[(2008+y²).(2008+x²)\(2008+z²)]
ta có:
2008 + x² = xy + xz + yz + x²
2008 + x² = (x+y).(x+z)
tương tự: 2008 + y² = (x+y).(y+z) và 2008 + z² = (z+y).(x+z)
chỉ việc thay vào rùi rút gọn thui
=> M = x.√[(x+y).(y+z).(x+z).(z+y)\ (x+y).(x+z)] + y.√[(x+y).(x+z).(x+z).(z+y)\(y+x).(y+z)] + z.√[(x+y).(x+z).(y+z).(y+x)\(x+z).(z+y)]
=> M = x.|y+z| + y.|z+x| + z.|x+y|
=> M = 2.2008
Thay \(xy+yz+xz=2018\) ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}2018+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\\2018+y^2=y^2+xy+yz+xz=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\\2018+z^2=z^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)
Sau đó thay vào lần lượt đề bài là được
Cho: \(\left(x+\sqrt{x^2+2008}\right).\left(y+\sqrt{y^2+2008}\right)=2008\)
Tính : x2009 + y2009
ta nhân cả 2 vế với \(x+\sqrt{x^2+2008}\)
hay \(y+\sqrt{y^2+2008}\)
Cho x>-2, y>1 thỏa mãn\(\left(x+1\right)\left(x-y+5\right)+4-2y=\sqrt{y-1}-\sqrt{x+2}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(M=4y-x-xy+2008\)
HELP ME:
Cho :\(\left(x+\sqrt{x^2+2008}\right).\left(y+\sqrt{y^2+2008}\right)=2008\)
Tính: S = x2009 + y2009
Cho : \(M=3x+\frac{x^2-y^2}{x^2+1}\)
\(N=\left(x+1\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\right)^2+2008\)
Tính giá trị của M tại x,y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\forall x;y\end{cases}}\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\right)^2+2008\ge2008\forall x;y\)
\(\Rightarrow N\ge2008\forall x;y\)
\(N=2008\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=0\\\left(y-\sqrt{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-\sqrt{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}}\)
Bí
\(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\end{cases}}\text{Dấu }=\text{xảy ra khi}\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-\sqrt{2}=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow MinN=2008\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)
\(M=3.1+\frac{1-\sqrt{2}^2}{1+1}=3+\frac{1-2}{2}=\frac{5}{2}\)
Cho M=\(3x+\frac{x^2-y^2}{x^2+1}\)
\(N=\left(x+1\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\right)^2+2008\)
Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có :
\(\left(x+1\right)^2\ge0\)\(\left(\forall x\inℤ\right)\)
\(\left(y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\)\(\left(\forall y\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x+1\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\right)^2+2008\ge2008\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=0\\\left(y-\sqrt{2}\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-\sqrt{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}}\)
Thay \(x=-1\) và \(y=\sqrt{2}\) vào \(M=3x+\frac{x^2-y^2}{x^2+1}\) ta được : \(M=3.\left(-1\right)+\frac{\left(-1\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}{\left(-1\right)^2+1}\)
\(M=-3+\frac{1-2}{1+1}\)
\(M=-3+\frac{-1}{2}\)
\(M=\frac{-7}{2}\)
Vậy : +) Giá trị của \(M=3x+\frac{x^2-y^2}{x^2+1}\) tại \(x=-1\) và \(y=\sqrt{2}\) là \(\frac{-7}{2}\)
+) Giá trị nhỏ nhất của \(P=2008\) khi \(x=-1\) và \(y=\sqrt{2}\)
Chúc bạn học tốt ~
Cho x,y,z thỏa mãn đồng thời: \(3x-2y-2\sqrt{y+2012}+1=0\); \(3y-2z-2\sqrt{z-2013}+1=0\);\(3z-2x-2\sqrt{x-2}-2=0\)Tính \(C=\left(x-4\right)^{2016}+\left(y+2012\right)^{2017}+\left(z-2013\right)^{2008}\)