giúp mình nhé tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp

Ta có: a²+b²+(a-b)²=c²+d²+(c-d)²

=> [a²+b²+(a-b)²]²=[c²+d²+(c-d)²]²

=>a⁴+b⁴+(a-b)⁴+2.[a²b²+a².(a-b)²+b².(a-b)²] = c⁴+d⁴+(c-d)⁴+2.[c²d²+c².(c-d)²+d².(c-d)²]

=> a⁴+b⁴+(a-b)⁴+2.[a²b²+(a-b)².(a²+b²)] = c⁴+d⁴+(c-d)⁴+2.[c²d²+(c-d)².(c²+d²)] (1)

Mặt khác a²+b²+(a-b)²=c²+d²+(c-d)²

=> 2.(a²+b²-ab)=2.(c²+d²-cd)

=> a²+b²-ab=c²+d²-cd

=> (a²+b²-ab)²=(c²+d²-cd)²

=> (a²+b²)²-2ab.(a²+b²)+a²b²= (c²+d²)²-2cd(c²+d²)+c²d²

=> a²b²+(a²+b²)(a²+b²-2ab)= c²d²+(c²+d²)(c²+d²-2cd)

=> a²b²+(a²+b²)(a+b)²=c²d²+(c²+d²)(c-d)² (2)

Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được:

a⁴+b⁴+(a-b)⁴=c⁴+d⁴+(c-d)⁴

=> đpcm

BĐT này do giáo sư Vasile đề xuất, và đây là lời giải của ông ấy:

Do vai trò của các biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a^2=max\left\{a^2;b^2;c^2;d^2\right\}\)

\(\Rightarrow a^2\ge\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\)

Đặt \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\Rightarrow x^2\le a^2\) (1)

Đồng thời \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\ge\dfrac{1}{9}\left(b+c+d\right)^2=\dfrac{a^2}{9}\Rightarrow a^2\le9x^2\) (2)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-9x^2\right)\le0\) (3)

Ta có:

\(b^4+c^4+d^4=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2\right)\le\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(bc+cd+bd\right)^2\)

\(=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left[\left(b+c+d\right)^2-\left(b^2+c^2+d^2\right)\right]^2=9x^4-\dfrac{1}{6}\left(a^2-3x^2\right)^2=\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}\)

Do đó:

\(12\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\le12a^4+12.\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}=90x^4+12a^2x^2+10a^4\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(7\left(a^2+3x^2\right)^2\ge90x^4+12a^2x^2+10a^4\)

\(\Leftrightarrow a^4-10a^2x^2+9x^4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-9x^2\right)\left(a^2-x^2\right)\le0\) (đúng theo (3))

Vậy BĐT được chứng minh hoàn tất.

Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=-\dfrac{a}{3}\) và các hoán vị của chúng

Mình chỉ làm bài 1a, và bài 3 thôi nhé,còn lại là bạn tự làm nhé

Bài 1:

a, Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow\left[\frac{a}{b}\right]^2=\left[\frac{c}{d}\right]^2=\left[\frac{a+c}{b+d}\right]^2\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\)

Bài 3 : Sửa đề : Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)

CM : a = b = c

Cách 1 : Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

vì \(a+b+c\ne0\)

\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b;\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\)

Do đó : \(a=b=c\).

Cách 2 : Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=m\), ta có : \(a=bm,b=cm,c=am\)

Do đó : \(a=bm=m(mc)=m\left[m(ma)\right]\)

\(\Rightarrow a=m^3a\Rightarrow m^3=1(a\ne0)\Rightarrow m=1\)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)

Cách 3 : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow1=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow\frac{a}{b}=1\)

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)

a² + b² + (a + b)² = c² + d² + (c +d)² => 2.(a² + b²) + 2ab = 2.(c² + d²) + 2cd

=> a² + b² + ab = c² + d² + cd   (1)

+) a⁴ + b⁴ + (a + b)⁴ = (a² + b²)²  - 2a².b² + (a + b)⁴ = [(a² + b²)² - a².b²] + [(a + b)⁴ - a².b²]

= (a² + b² - ab). (a² + b² + ab) +  [(a + b)² - ab].[(a+ b)² + ab]

=  (a² + b² - ab). (a² + b² + ab) + (a² + b² + ab). (a² + b² + 3ab) = (a² + b² + ab). [(a² + b² - ab) + (a² + b² + 3ab)]

= 2.(a² + b² + ab).(a² + b² + ab) = 2.(a² + b² + ab)²           (2)

Tương tự: c⁴ + d⁴ + (c+d)⁴ = 2. (c² + d² + cd)²   (3)

Từ (1)(2)(3) => đpcm