Lời giải:
Đặt $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=t$

Áp dụng TCDTSBN:

$t=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}$

$\Rightarrow t^n=\left[\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\right]^n(*)$

Lại có:

$\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}....\frac{a_n}{a_{n+1}}=t.t.t....t$

$\Rightarrow \frac{a_1}{a_{n+1}}=t^n(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có:

$\left[\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\right]^n=\frac{a_1}{a_{n+1}}$ (đpcm)

Ta có với số nguyên a bất kì:

 | a | - a = a - a = 0 là số chẵn nếu  a\(\ge\)0

| a | - a = -a - a = -2a là số chẵn nếu a < 0

Tóm lại: | a | - a là số chẵn với a nguyên bất kì 

=> | a1 - a2 | - ( a1 - a2) là số chẵn

 | a2 - a3 | - ( a2 - a3) là số chẵn

 | a3 - a4 | - ( a3 - a4) là số chẵn

....

 | an- a1 | - ( an - a1) là số chẵn

=> [ | a1 - a2| + |a2 - a3| + | a3 - a4| +...+ |an - a1| ] - [( a1 - a2) + (a2 - a3) + ( a3 - a4)+...+ (an - a1) ] là số chẵn 

mà   ( a1 - a2) + (a2 - a3) + ( a3 - a4)+...+ (an - a1)  = 0 là số chẵn 

=> | a1 - a2| + |a2 - a3| + | a3 - a4| +...+ |an - a1|  là số chẵn 

Vậy S luôn là 1 số chẵn.

Bài 1: 

uses crt;

var a:array[1..1000000]of longint;

i,n,x:longint;

begin

clrscr;

write('Nhap n='); readln(n);

for i:=1 to n do 

begin

write('A[',i,']='); readln(a[i]);

end;

write('Nhap x='); readln(x);

for i:=1 to n do 

  if a[i]<>x then write(a[i]:4);

readln;

end.