a/ Ta chứng minh: \(B=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2n}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2n}=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n\) là số nguyên với mọi n

Với \(n=0\Rightarrow B=2\)

Với \(n=1\Rightarrow B=10\)

Giả sử nó đúng đến \(n=k\) hay

\(\hept{\begin{cases}\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k-1}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k-1}=a\\\left(5+2\sqrt{6}\right)^k+\left(5-2\sqrt{6}\right)^k=b\end{cases}}\) \(\left(a,b\in Z\right)\)

Ta chứng minh nó đúng đến \(n=k+1\)

Ta có: \(\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k+1}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k+1}\)

\(=\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(b-\left(5-2\sqrt{6}\right)^k\right)+\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(b-\left(5+2\sqrt{6}\right)^k\right)\)

\(=b\left(5+2\sqrt{6}\right)-\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k-1}+b\left(5-2\sqrt{6}\right)-\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k-1}\)

\(=10b-a\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

b/ Đặt \(S_n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n=x^n+y^n\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2=10x-1\\y^2=10y-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow S_{n+2}=x^{n+2}+y^{n+2}=10\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-\left(a^n+b^n\right)=10S_{n+1}-S_n\)

\(\Rightarrow S_{n+2}+S_n=10S_{n+1}⋮10\)

Tương tự cũng có: \(S_{n+4}+S_{n+2}=10S_{n+3}⋮10\) 

\(\Rightarrow S_{n+4}-S_n⋮10\)

Từ đây ta thấy được \(S_{n+4}\equiv S_n\left(mod10\right)\)

Mà \(S_0=2\)

Vậy với mọi n chia hết cho 4 thì số tận cùng của B là 2.

Quay lại bài toán ta thấy \(1004⋮4\) nên M sẽ có chữ số tận cùng là 2.

Bài 1: 

Ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)

Do đó: \(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

hay \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cb}+\sqrt{ac}\)

Sorry thiếu với \(\forall m\inℝ\)

với cả  : P(x) = ax² + bx +c , a khác 0

M = x.√[(2008+y²).(2008+z²)\(2008+x²)] + y.√[(2008+x²).(2008+z²)\(2008+y²)] + z.√[(2008+y²).(2008+x²)\(2008+z²)]

ta có:
2008 + x² = xy + xz + yz + x²
2008 + x² = (x+y).(x+z)
tương tự: 2008 + y² = (x+y).(y+z) và 2008 + z² = (z+y).(x+z)
chỉ việc thay vào rùi rút gọn thui

=> M = x.√[(x+y).(y+z).(x+z).(z+y)\ (x+y).(x+z)] + y.√[(x+y).(x+z).(x+z).(z+y)\(y+x).(y+z)] + z.√[(x+y).(x+z).(y+z).(y+x)\(x+z).(z+y)]

=> M = x.|y+z| + y.|z+x| + z.|x+y|
=> M = 2.2008

Thay \(xy+yz+xz=2018\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2018+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\\2018+y^2=y^2+xy+yz+xz=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\\2018+z^2=z^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

Sau đó thay vào lần lượt đề bài là được

`A=\sqrt{1+2008^2+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{1+2008^2+2.2008+2008^2/2009^2-2.2008}+2008/2009`

`=\sqrt{(2008+1)^2-2.2008+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{2009-2.2008/2009*2009+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{(2009-2008/2009)^2}+2008/2009`

`=|2009-2008/2009|+2008/2009`

`=2009-2008/2009+2008/2009`

`=2009` là 1 số tự nhiên

Ap dung \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Ta co \(P< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2008}}\right)\)  

=> \(P< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2008}}\right)< 2.1=2\)

Suy ra P khong phai so nguyen to