Xét 1 A , mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên  1 A viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn.

1 A = a 1 a 2 ... a n ¯ 99...9 ⏟ n ⇒ 99...9 ⏟ n = A . a 1 a 2 ... a n ¯ ⇒ 99...9 ⏟ n ⋮ A .

bạn lấy đâu 1/A người ta cho A thôi mà

Gọi số n là số lẻ có tận cùng khác 5
Xét dãy số gồm (n + 1) số nguyên sau:
9
99
999
....
99...999
(n + 1) chữ số 9
Khi chia cho nthì sẽ có (n + 1) số dư
=> Theo nguyên lý Dinchlet có ít nhất 2 số có cùng số dư.
Giả sử: ai = n . q + r
: aj = n . k + r
Còn lại tự làm nha!

Gọi số n là số lẻ có tận cùng khác 5.

Xét dãy số gồm (n+1) số nguyên sau :

9

99

999

......

99....999

(n+1) chữ số 9

Khi chia cho n thì sẽ có (n+1) số dư 

=>Theo ng.lý dinchlet có ít nhất 2 số có cùng số dư .

Gỉa sử : ai = n . q + r                     o < r < n

            :aj = n . k + r                     i > j ; g , k thuộc N

=>ai - aj = n (g-k)

<=> 99 ... 99              00...0        = ( g-k )

        ( i - j )                 j chữ

      chữ số 9               số 0

<=>99 ... 99   . 10^j = n ( g - k )

       ( i - j )

    c/số 9

Vì n là số lẻ có tận cùng khác 5 => ( 10^j ; n ) = 1

=> 99 ... 99             :^. n ( đpcm )

       ( i - j )    

     c/số 9