\(\frac{1}{^{1^2}}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\left(n\in N^#\right)\)

Có  \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

                                            \(< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

                                            \(< 1-\frac{1}{n}< 1\left(\frac{1}{n}>0;n\in N^#\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{^{1^2}}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1^2}+1\)

                                                      \(< 1+1\)

                                                      \(< 2\)

\(\frac{1}{^{1^2}}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}>\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)

                                                 \(>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

                                                 \(>1-\frac{1}{n+1}>1\)

\(1< \frac{1}{^{1^2}}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{^{1^2}}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)không phải là số tự nhiên

Cảm ơn nha

Mà tại sao 1-1/n+1 lại lớn hơn 1

Đặt A = 1/1^2+1/2^2+.....+1/n^2

Có : A = 1+1/2^2+1/3^2+.....+1/n^2 > 1 (1)

Lại có : A < 1 + 1/1.2 + 1/2.3 + ........ + 1/(n-1).n

= 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ....... + 1/n-1 - 1/n

= 2 - 1/n < 2 (2)

Từ (1) và (2 => 1 < A < 2

=> A ko phải là 1 số tự nhiên

Tk mk nha

Đặt A = 1/1^2+1/2^2+.....+1/n^2

Có : A = 1+1/2^2+1/3^2+.....+1/n^2 > 1 (1)

Lại có : A < 1 + 1/1.2 + 1/2.3 + ........ + 1/(n-1).n

= 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ....... + 1/n-1 - 1/n

= 2 - 1/n < 2 (2)

Từ (1) và (2 => 1 < A < 2

=> A ko phải là 1 số tự nhiên

Đặt biểu thức trên = A

Ta có : 

A = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ..... + 1/n^2 > 1

Mặt khác : 

A = 1  + 1/2^2 + 1/3^2 + ...... + 1/n^2

   < 1 + 1/1.2 + 1/2.3 + ....... + 1/(n-1).n

    = 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ...... + 1/n-1 - 1/n

    = 2 - 1/n < 2

=> 1 < A < 2

=> A ko phải là số tự nhiên

Tk mk nha

Ta có : \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)

\(=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}>1\left(1\right)\)

Ta lại có : \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)

\(=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)

\(=1+\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+...+\frac{1}{n.n}\)

\(< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(=2-\frac{1}{n}< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) : \(\Rightarrow1< \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

k cho

các bn nhé!!!!

Ta có \(\frac{1}{2^2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2>0;\frac{1}{3^2}=\left(\frac{1}{3}\right)^2>0;...;\frac{1}{n^2}=\left(\frac{1}{n}\right)^2>0\)

=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}>0\)

=> \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}>1\)(1)

Lại có \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{n.n}\)

\(< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(=2-\frac{1}{n+1}< 2\)

=> \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{n^2}< 2\)(2)

Từ (1) và (2) => \(1< \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 2\)

=> \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)không là 1 số tự nhiên