Chứng minh rằng nếu x+y+z=a và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\) thì tồn tại một trong ba số x,y,z bằng a.
Chứng minh rằng nếu x+y+z= a và 1/x+1/y+1/z=1/a thì tồn tại trong ba số x,y,z bằng a
từ giả thiết => \(\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
sau đó quy đòng và tách nhân tử là (x+y)(y+z)(z+x)=0
=> 2 số sẽ đối nhau, nên sẽ tồn tại 1 số = a
chứng minh rằng nếu 3 số x,y,z thỏa mản
x+y+z=0 và \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=\(\frac{1}{a}\)
thì một trong 3 số x,y,z phải bằng a
Cho 3 số x,y,z (x #0, y#0, z#0, x+y+z # 0 ) thỏa mãn điều kiện :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\). Chứng minh trong ba số luôn tồn tại một cặp số đối nhau.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
=> ...............................................
Cho ba số x,y,z khác nhau và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) Chứng minh rằng trong ba số x,y,z có ít nhất một cặp số đối nhau
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-x-y}{\left(x+y+z\right)z}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}\right)=0\)
\(+,x+y=0\Rightarrow x=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)
\(+,\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+xz+yz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+z\left(z+y\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow y+z=0\Rightarrow z=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)
\(\text{Vậy ta có điều phải chứng minh }\)
Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn: x+y+z=2006 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2006}\)
Chứng minh rằng ít nhất trong ba số x,y,z bằng 2006
ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2006}\) (x;y;z khác 0)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)(vì x+y+z=2006)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{z-\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right).z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right).z}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2\right)\) (vì x;y;z khác 0)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+yz+xz+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0
mà x+y+z=2006 nên
z=2006 hoặc x=2006 hoặc y=2006
=> đpcm
Giải hộ mình mấy bài này với:
1)cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
2)Cho 3 số x,y,z khác không thỏa mãn:\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số đối nhau.
cho 3 số x, y, z khác 0 thõa mãn\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2015\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z tồn tại 2 số đối nhau
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) (do x+y+z = 2015)
\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
đến đây tự lm nốt nha
cho \(\frac{x}{y}-\frac{y}{z}-\frac{z}{x}=\frac{y}{x}-\frac{z}{y}-\frac{x}{z}\). Chứng minh rằng trong ba số x,y,z tồn tại hai số bằng nhau hoặc đối nhau?
ai trả lời nhanh và chi tiết nhất mình sẽ tick đúng ạ, cảm ơn mọi người nhiều
cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn x+y+x =2010 ;\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=\(\frac{1}{2010}\)
chứng minh rằng trong 3 số x,y,x luôn tồn tại hai số đối nhau
Hd lấy hai cái nhân với nhau VP=1 ; VT=bt rút gọn=>đpcm