a) \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n⋮5\)với \(n\inℤ\)

b) \(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=n^2+3n-4-\left(n^2-3n-4\right)=6n\)

ta có : n(n+5)−(n−3)(n+2)=n^2+5n−(n^2+2n−3n−6)

=n^2+5n−n^2−2n+3n+6=6n+6=6(n+1)⋮6

⇔6(n+1)⇔6(n+1) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên

⇔n(n+5)−(n−3)(n+2) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên

vậy n(n+5)−(n−3)(n+2)chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên (đpcm)

1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

a) Ta có:

\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)

\(=-5n\)

Vì \(-5n⋮5\) với n thuộc Z

\(\Rightarrow n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)⋮5\) với n thuộc Z

b) Ta có:

\(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2\)

\(=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3+2\)

\(=5n^2+5n\)

\(=5\left(n^2+n\right)\)

Vì \(5\left(n^2+n\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2⋮5\)

c) Ta có:

\(\left(xy-1\right)\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2003}-y^{2003}\right)\)

\(=\left(xy+1-2\right)\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2003}-y^{2003}\right)\)

\(=\left(xy+1\right)\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2003}-y^{2003}\right)\)

\(=\left(xy+1\right)\left(x^{2003}+y^{2003}-x^{2003}+y^{2003}\right)-2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)\)

\(=2\left(xy+1\right)y^{2003}-2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)\)

Vì \(2\left(xy+1\right)y^{2003}⋮2\)

\(2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)⋮2\)

\(\Rightarrow2\left(xy+1\right)y^{2003}-2\left(x^{2003}+y^{2003}\right)⋮2\)

\(\Rightarrow\left(xy-1\right)\left(x^{2003}+y^{2003}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2003}-y^{2003}\right)⋮2\)

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)

Ta thấy n-1;n;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp

Mà tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6

Nên \(n^3-n\) luôn chia hết cho 6.

Tham khảo, chúc bạn học thật giỏi!

\(n^3-n\)

\(=n\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Dễ thấy: \(n-1;n;n+1\) là 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6

Ta có đpcm

Ý BẠN LÀ n^3-n hay n³-n

a;\(aaa=111\cdot a\)

\(\Rightarrow aaa=3\cdot37\cdot a\)

\(\Rightarrow aaa⋮37\left(3a\inℕ\right)\)

b;\(a\ge b;ab-ba=10a+b-10b-a\)

\(\Rightarrow ab-ba=9a-9b\)

\(\Rightarrow ab-ba=9\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow ab-ba⋮9\left(a\ge b\Rightarrow a-b\ge0\right)\)

\(n\left(n+1\right)\)

*;\(n⋮2\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮2\)

*;\(n⋮̸2\Rightarrow n+1⋮2\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮2\)

đề sai nha bạn

đề kiểu j vậy bn

mk chịu

Với n chẵn thì mới đúng,mà chắc là sai đề chứ n chẵn thì đề bài quá hiển nhiên(lớp 6 thừa sức giải)