Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(x^2+2y^2+3z^2\right)\left(\frac{18^2}{11^2}+2.\frac{9^2}{11^2}+3.\frac{6^2}{11^2}\right)\ge\left(\frac{18}{11}x+\frac{18}{11}y+\frac{18}{11}z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow S.\frac{54}{11}\ge\left[\frac{18}{11}\left(x+y+z\right)\right]^2=\left(\frac{18}{11}.3\right)^2=\frac{54^2}{11^2}\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{54}{11}\)

\(\Rightarrow Min_S=\frac{54}{11}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{18}{11}\\y=\frac{9}{11}\\z=\frac{6}{11}\end{matrix}\right.\)

ta có :

x−1/2=y−2/3=z−3/4

Hay: x−1/2=2(y−2)/6=3(z−3)/12  

x−1/2=2y−4/6=3z−9/12

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x−1/2=2y−4/6=3z−9/12=(x−1)−(2y−4)+(3z−9)/2−6+12=x−1−2y+4+3z−9/2−6+12 =x−2y+3z−6/8=14−6/8=1  

Suy ra : x - 1 = 2 => x = 3

           y - 2 = 3  => y = 5

              z - 3 = 4 => z = 7

2 cách 

cách 1 đặt k

cách 2 dùng dãy tỉ số = nhau

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{\left(x-1\right)+2.\left(y-2\right)+3.\left(z-3\right)}{2+2.3+3.4}=\frac{x-1+2y-4+3z-9}{2+6+12}\)

\(=\frac{\left(x+2y+3z\right)+\left(-1-4-9\right)}{20}=\frac{14-14}{20}=0\)

suy ra: \(\frac{x-1}{2}=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

\(\frac{y-2}{3}=0\Rightarrow y-2=0\Rightarrow y=2\)

\(\frac{z-3}{4}=0\Rightarrow z-3=0\Rightarrow z=3\)

Bạn tham khảo. 

\(\frac{\left(x-1\right)}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{\left(x-3\right)}{4}\)

Hay : \(x-\frac{1}{2}=\frac{2\left(y-2\right)}{6}=\frac{3\left(x-3\right)}{12}\)

\(x-\frac{1}{2}=2y-\frac{4}{6}=3z-\frac{9}{12}\)

Ap dung tinh chat cua day ti so bang nhau , ta co

\(x-\frac{1}{2}=2y-\frac{4}{6}=3z-\frac{9}{12}=\frac{\left(x-1\right)-\left(2y-4\right)+\left(3z-9\right)}{2-6+12}=x-2y+3z-\frac{6}{8}=14-\frac{6}{8}=1\)

Nen : x - 1 = 2 => x = 3

y - 2 = 3 => y = 5

z - 3 = 4 => z = 7

Cách 1 : Nhân tỉ số thứ hai , thứ ba của \((1\) lần lượt với và 3 ta được :

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{x-1}{2}=\frac{2y-4}{6}=\frac{3z-9}{12}=\frac{x-2y+3z-6}{2-6+12}=\frac{14-6}{8}=1\)

Suy ra : x - 1 = 2.1 => x = 3 ; y - 2 = 3.1 => y = 5 ; z - 3 = 4 . 1 => z = 7

Cách 2: Đặt \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=k(k\inℤ)\)

=>   \(\hept{\begin{cases}x=2k+1\\y=3k+2\\z=4k+3\end{cases}(}2)\)

Thay 2 vào 1 ta có :

\(2k+1-6k-4+12k+9=14\)

\(\Rightarrow8k+6=14\)

\(\Rightarrow8k=8\)

\(\Rightarrow k=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\cdot1+1=3\\y=3\cdot1+2=5\\z=4\cdot1+3=7\end{cases}}\)

Vậy x = 3 ; y = 5 ; z = 7