do a,b không âm :

\(\sqrt{a}< \sqrt{b}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2< \left(\sqrt{b}\right)^2\Leftrightarrow a< b\left(đpcm\right)\)

bình 2 vế do a,b ko âm

ta có bình phg 2 vế có a<b (a,b k âm)

b là trung bình cộng của a và c \(\Rightarrow b=\frac{a+c}{2}\)

\(VT=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\frac{a+c}{2}}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\frac{a+c}{2}-c}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\frac{a-c}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}=VP\)

Nếu a<b thì a-b<0 ,suy ra \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)0\)với mọi a khác b nên suy ra \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)

9=3(a+b+c) sau đó dùng kỹ thuật tách ghép đối xứng

\(a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}\ge9.\)

\("\sqrt{a+8}"\sqrt{b+8}"\sqrt{c+8}"=xyz\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)=\left(X^2-8\right)\left(b^2-8\right)\left(c^2-8\right)\) (1)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=27\) (2)

\(\left(x^2-8\right)x+y\left(y^2-8\right)+z\left(z^2-8\right)\ge9\)

\(x^3+y^3+z^3-8\left(x+y+z\right)\ge9\)

\(\left(x^3+9x\right)+\left(y^3+9y\right)+\left(z^3+9y\right)-17\left(x+y+z\right)\ge6x^2+6y^2+6z^2-17\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

từ (2) ta có (x^2+y^2+z^2)=27 

\(VT\ge6\left(27\right)-17\sqrt{3\left(27\right)}=162-153=9\)

                                                                                                                         \(\ge\)