\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si ,ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)

Vậy ta được đpcm

ta có:

\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)

Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha 

mik tự hào 2 tiếng thằng ngơ nhưng ko ngơ như cậu nghĩ đâu

Ta có

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Dấu ''='' xảy ra <=>\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0<=>\sqrt{a}=\sqrt{b}<=>a=b\)

Tick cho tui nha,bạn hiền

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

tick mik nữa nha bn hiền

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

<=>  \(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

<=>  \(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

<=>  \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2\ge0\)  luôn đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Mình không biết làm.

\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)

b ) chuyển vế tương tự

a) áp dụng bđt cô si cho 2 số ta có

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}\)

⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\) (đpcm )

b) áp dụng bđt cô si dạng phân số ta có

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)

⇔ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (đpcm)

a^2 + b^2 >= ab 
<=> a^2 + b^2 -ab >= 0 
<=> a^2 - ab + (1/4)b^2 + (3/4)b^2 >= 0 
<=> {a - (1/2)b}^2 + (3/4)b^2 >=0 
{a - (1/2)b}^2 luôn >= 0 
(3/4)b^2 luôn >=0 ==> a^2+b^2 luôn >=0

Bài toán của bạn đưa về giải bất đẳng thức 
a^2 + b^2 >= ab 
<=> a^2 + b^2 -ab >= 0 
<=> a^2 - ab + (1/4)b^2 + (3/4)b^2 >= 0 
<=> {a - (1/2)b}^2 + (3/4)b^2 >=0 
{a - (1/2)b}^2 luôn >= 0 
(3/4)b^2 luôn >=0 ==> a^2+b^2 luôn >=0 
* Lưu ý: ab = 2.(1/2).ab 
b^2 = (1/4).b^2 + (3/4).b^2