Ta chọn n=2^1999

Ta có:1+1/2+1/3+...+1/n=1+1/2+(1/3+1/2²)+(1/5+1/6+1/7+1/2^3)+(1/9+...+1/2^4)+...+(1/2^199​8+1+...+1/2¹⁹⁹⁹)>1+1/2+1/2².2+1/2³.2²+1/2⁴.2³+...+1/2¹⁹⁹⁹.2¹⁹⁹⁸=1+1/2.1999=1000,5>1000(đpcm)

Số đó là 2^1999

Ta chọn n=2^1999 Ta có:1+1/2+1/3+...+1/n=1+1/2+(1/3+1/22)+(1/5+1/6+1/7+1/2^3)+(1/9+...+1/2^4)+...+(1/2199​8+1+...+1/21999)>1+1/2+1/22.2+1/23.22+1/24.23+...+1/21999.21998=1+1/2.1999=1000,5>1000 sr a>1000

Ta chọn n=2¹⁹⁹⁹

Ta có:1+1/2+1/3+...+1/n=1+1/2+(1/3+1/2²)+(1/5+1/6+1/7+1/2^3)+(1/9+...+1/2^4)+...+(1/2^199​8+1+...+1/2¹⁹⁹⁹)>1+1/2+1/2².2+1/2³.2²+1/2⁴.2³+...+1/2¹⁹⁹⁹.2¹⁹⁹⁸=1+1/2.1999=1000,5>1000(đpcm)

Giả sử trong 2n số nguyên dương đầu tiên có đúng m số nguyên tố là p₁;p₂,...;p_m.Dễ chứng minh được rằng m⩽n

Chia 2n số nguyên dương đó thành m+1 tập con (có thể giao nhau) :A_0;A_1;A_2;...;A_m, trong đó :

A₀={1}

A_i (1⩽i⩽m) gồm p_i và tất cả các bội của nó trong 2n số nguyên dương đầu tiên.

Xét 2 trường hợp:

+) m < n 

   Khi đó m + 1 < n + 1⇒ trong n+1 số bất kỳ (chọn trong 2n số đó) chắc chắn có 2 số thuộc cùng 1 tập con và là bội của nhau, đó là 2 số cần tìm.

+)  m = n

   + Nếu trong n+1 số đó có số 1 (thuộc tập A_o) thì đpcm là hiển nhiên.

   + Nếu trong n+1 số đó không có số nào thuộc tập A₀ thì chúng chỉ nằm trong m tập con còn lại.

      Vì m<n+1 nên có ít nhất 2 số (trong n+1 số đó) thuộc cùng 1 tập con và là bội của nhau, đó là 2 số cần tìm.

Như vậy, trong mọi trường hợp, luôn tìm được 2 số là bội của nhau từ n+1 số bất kỳ chọn trong 2n số nguyên dương đầu tiên.

Nguồn: https://diendantoanhoc.net/topic/132810-ch%E1%BB%A9ng-minh-r%E1%BA%B1ng-t%E1%BB%AB-n1-s%E1%BB%91-b%E1%BA%A5t-k%C3%AC-trong-2n-s%E1%BB%91-t%E1%BB%B1-nhi%C3%AAn-%C4%91%E1%BA%A7u-ti%C3%AAn-lu%C3%B4n-t%C3%ACm-%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c-hai-s%E1%BB%91-l%C3%A0-b%E1%BB%99i-c/

Mình cx bí bày này nên giải lại cho hiểu kĩ