Chứng minh rằng với \(n\in N\)* thì:

a, \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

b, \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)

c, \(n+2\left(n-1\right)+3\left(n-2\right)+...+n=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)

cho \(A=\frac{7}{3}.\frac{37}{3^2}....\frac{6^{2n}+1}{3^{2n}}\)và \(B=\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3^2}\right)...\left(1+\frac{1}{3^{2n}}\right)\)với n thuộc N

a) Chứng minh: 5A-2B là số tự nhiên

b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A-2B chia hết cho 45

bài 1

a) cho B = \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{7}{2^3}+...+\frac{2^{100}-1}{2^{100}}\). Chứng minh B >99

b)chứng minh \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...\left(2n\right)⋮2^n\)với n nguyên dương

c) cho đa thức f(x) = ax^3 + bx^3 + cx + d . với f(0) và f(1) là các số lẻ. CMR f(x) không có nghiệm là số nguyên.

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n\in N^{\circledast}\) )

a) \(1^2+3^2+5^2+.....+\left(2n-1\right)^2=\dfrac{n\left(4n^2-1\right)}{3}\)

b) \(1^3+2^3+3^3+.....+n^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)

Với n là số tự nhiên, chứng minh :

           \(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}-\sqrt{\left(2n+1\right)^2-1}\)

Viết đẳng thức trên khi n = 1, 2, 3, 4

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi n nguyên dương:

\(\sqrt[3]{\left(n+1\right)^2}-\sqrt[3]{n^2}< \frac{2}{3\sqrt[3]{n}}< \sqrt[3]{n^2}-\sqrt[3]{\left(n-1\right)^2}\)

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi n nguyên dương:

\(\sqrt[3]{\left(n+1\right)^2}-\sqrt[3]{n^2}< \frac{2}{3\sqrt[3]{n}}< \sqrt[3]{n^2}-\sqrt[3]{\left(n-1\right)^2}\)

Chứng minh các công thức sau:

a) \(A=1^2+3^3+5^2+...+\left(2n-1\right)^2=\frac{n.\left(4n^2-1\right)}{3}\)

b) \(B=1+q+q^2+q^3+...+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\)