Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Lại có BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\left(a+b=1\right)\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên có:

\(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT^2=\left(x-1\right)+\left(3-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(\le2+\left(x-1\right)+\left(3-x\right)=4\)

\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\). Lại có:

\(VP=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)

Từ (1);(2) xảy ra khi 

\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2+2=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\) (thỏa)

Vậy x=2 là nghiệm của pt

2. \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=x^2-4x+6\)

Điều kiện : \(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}1\le x\le3\left(1\right)\)

(Nháp nhé : dễ thấy phương trình có nghiệm \(x=2\) nên ta sẽ thêm bớt để có \(\left(x-2\right)\)là nhân tử chung )

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=x^2-4x+4\)

nhân liên hợp có :

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{3-x}+1\right)\left(\sqrt{3-x}-1\right)}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}=\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}+\frac{-\left(x-2\right)}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}=\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\frac{1}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}-\frac{1}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}-\left(x-2\right)\right]=0\)

Bài 1 :

a) \(a\ne x\)

b) Tại a= 2 PT

\(\Leftrightarrow\left(5.2-8\right)x=2014\)

\(\Leftrightarrow2x=2014\)

\(\Leftrightarrow x=1007\) 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho khi a=2 là \(S=\left(1007\right)\)

Bài 2 

Ta có :\(f\left(x\right)=2x^2-12x+14\)

                   \(=2\left(x^2-6x+9\right)-4\)

                \(=2\left(x-3\right)^2-4\ge-4\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x-3=0\Leftrightarrow x=3\)

Vậy GTNN của \(f\left(x\right)\)là \(-4\)khi \(x=3\)

Nhớ K cho tớ nhé

Giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(P=a+b+c=\left(a-5\right)+\left(b-4\right)+\left(c-3\right)+12\) 

\(=\sqrt{\left(a-5\right)^2}+\sqrt{\left(b-4\right)^2}+\sqrt{\left(c-3\right)^2}+12\) 

\(\ge\sqrt{\left(a-5\right)^2+\left(b-4\right)^2+\left(c-3\right)^2}+12\)

\(\ge12\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow a=5;b=4;c=3\)

Vậy \(min_P=12\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(5;4;3\right)\) hoặc các hoán vị

cảm ơn nha chị

Áp dụng bđt |a| + |b| ≥ |a + b| ta có :

A = |2x - 2| + |2x - 2013| = |2 - 2x| + |2x - 2013| ≥ |2 - 2x + 2x - 2013| = |- 2011| = 2011

Dấu "=" xảy ra <=> (2 - 2x)(2x - 2013) ≥ 0 => 2013/2 ≥ x ≥ 1

Vậy GTNN của A là 2011 <=> 2013/2 ≥ x ≥ 1

Các bài này em áp dụng công thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\). Dấu "=" xảy ra khi tích \(a.b\ge0\),

a) Ta có : \(x-y=3\Rightarrow x=3+y\).

Do đó : \(B=\left|x-6\right|+\left|y+1\right|\)

\(=\left|3+y-6\right|+\left|y+1\right|=\left|3-y\right|+\left|y+1\right|\)

\(\ge\left|3-y+y+1\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(3-y\right)\left(y+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-1\le y\le3\\2\le x\le6\end{cases},x-y=3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B=4\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-1\le y\le3\\2\le x\le6\end{cases},x-y=3}\)

b) Ta có : \(x-y=2\Rightarrow x=2+y\)

Do đó \(C=\left|2x+1\right|+\left|2y+1\right|\)

\(=\left|2y+5\right|+\left|2y+1\right|=\left|-2y-5\right|+\left|2y+1\right|\)

\(\ge\left|-2y-5+2y+1\right|=4\)

Các câu khác tương tự nhé em !

Làm nốt câu c

                                                  Bài giải

c, Ta có : 

\(D=\left|2x+3\right|+\left|y+2\right|+2\ge\left|2x+3+y+2\right|+2=\left|3+3+2\right|+2=8+2=10\)

Dấu " = " xảy ra khi \(2x+y=3\)

Vậy \(\text{​​Khi }2x+y=3\text{​​ }Min_D=10\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}\cdot\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(2+2+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}\)

cảm ơn nha

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

\(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}.\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}.\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}.\frac{c}{2\left(b +c\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(2+2+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}\)

P/s : Mình tự nghĩ chứ không phải mình copy đâu

a, Ta có: \(A=\left|x+2\right|+\left|9-x\right|\ge\left|X+2+9-x\right|=11\)

Dấu "=' xảy ra khi \(\left(x+2\right)\left(9-x\right)\ge0\Leftrightarrow-2\le x\le9\)

Vậy Min_A = 11 khi -2 =< x =< 9

b, Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\Rightarrow-\left(x-1\right)^2\le0\Rightarrow B=\frac{3}{4}-\left(x-1\right)^2\le\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 1

Vậy Max_B = 3/4 khi x=1

Ta có :\(A=\left|x+2\right|+\left|9-x\right|\ge\left|x+2+9-x\right|=11\)

Vậy \(A_{min}=11\) khi \(2\le x\le9\)