Câu 7: B

Câu 8: C

Câu 10: A

7.

ĐKXĐ: \(3\le x\le7\)

\(x-5+\sqrt{7-x}-\sqrt{x-3}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=a\ge0\\\sqrt{7-x}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^2=2\left(x-5\right)\)

Pt trở thành:

\(\dfrac{a^2-b^2}{2}+b-a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=\sqrt{7-x}\\\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=7-x\\4+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(7-x\right)}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=5\\x=7\end{matrix}\right.\)

8.

ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}=t\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)

\(t^2=4+2\sqrt{4-x^2}\Rightarrow2\sqrt{-x^2+4}=t^2-4\)

Pt trở thành:

\(t+t^2-4+2m+3=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+t+1=-2m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+t+1\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(a=1>0;-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}< 2\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên đoạn đã cho

\(\Rightarrow f\left(2\right)\le f\left(t\right)\le f\left(2\sqrt{2}\right)\Rightarrow7\le f\left(t\right)\le9+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow7\le-2m\le9+2\sqrt{2}\Rightarrow-\dfrac{9+2\sqrt{2}}{2}\le m\le-\dfrac{7}{2}\)

\(\Rightarrow m=\left\{-5;-4\right\}\)

\(x^2-6x+1>\left(2x-3\right)\sqrt{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1-9\right)-3\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)\sqrt{x^2+1}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}-3\right)\left(\sqrt{x^2+1}+3\right)-\left(2x-3\right)\left(\sqrt{x^2+1}+3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}+3\right)\left(\sqrt{x^2+1}-3-\left(2x-3\right)\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}-2x>0\) (do \(\sqrt{x^2+1}+3>0\) với mọi x)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}>2x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2+1>4x^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\\left\{{}\begin{matrix}x>0\\-\dfrac{\sqrt{3}}{3}< x< \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x< \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Câu 6:

Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+5y-7=0\\x+3y-3=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+5y=7\\x+3y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+5y-x-3y=7-3\\x+3y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=3-3\cdot2=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy: A(-3;2)

M(-1;0) là trung điểm của AB

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot x_M\\y_A+y_B=2\cdot y_M\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B-3=2\cdot\left(-1\right)=-2\\y_B+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B\left(1;-2\right)\)

Phương trình đường cao kẻ từ A xuống BC là x+3y-3=0

=>VTPT là (1;3)

=>BC nhận vecto (-3;1) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường thẳng CB là:

-3(x-1)+1(y+2)=0

=>-3x+3+y+2=0

=>-3x+y+5=0

Gọi N là trung điểm của BC

=>N là giao điểm của hai đường thẳng -3x+y+5=0 và x+5y-7=0

Tọa độ N là:

\(\left\{{}\begin{matrix}-3x+y+5=0\\x+5y-7=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3x+y=-5\\x+5y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3x+y=-5\\3x+15y=21\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3x+y+3x+15y=-5+21\\x+5y=7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}16y=16\\x=7-5y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=7-5=2\end{matrix}\right.\)

vậy: N(2;1)

Xét ΔABC có

N,M lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>NM là đường trung bình 

=>NM//AC

N(2;1); M(-1;0)

=>\(\overrightarrow{NM}=\left(-3;-1\right)=\left(3;1\right)\)

=>AC nhận vecto (3;1) làm vecto chỉ phương

=>VTPT là (-1;3)

Phương trình đường thẳng AC là:

-1(x+3)+3(y-2)=0

=>-x-3+3y-6=0

=>-x+3y-9=0

\(sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+cot^2x=cosx+\dfrac{cos^2x}{sin^2x}=cosx+\dfrac{cos^2x}{1-cos^2x}=a+\dfrac{a^2}{1-a^2}\)

\(=\dfrac{-a^3+a^2+a}{1-a^2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\n=1\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P=-3\)

Pt bậc 2 có 2 nghiệm trái dấu khi \(ac< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-4\right)m< 0\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(0;2\right)\)

\(cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+tan^2x=sinx+\dfrac{sin^2x}{cos^2x}=sinx+\dfrac{sin^2x}{1-cos^2x}\)

\(=a+\dfrac{a^2}{1-a^2}=\dfrac{-a^3+a^2+a}{1-a^2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\n=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow Q=-4\)