Trong biểu thức có 14 hạng tử.

Ta có:

\(\frac{2000}{2001}<1<15\)

\(\frac{2001}{2001}<1<15\)

.........................

\(\frac{2015}{2016}<1<15\)

=> \(\frac{2000}{2001}+\frac{2001}{2002}+........+\frac{2015}{2016}<1+1+......+1=14<15\)

Ta thấy:

2000/2001 =  1 – 1/2001

2001/2001 = 1 – 1/2002

……..

2015/2016 = 1 – 1/2016

Trong biểu thức A có 2015-2000+1=16 (số hạng). Nên

A = 2000/2001 + 2001/2002 + .....+ 2015/2016 

A = 16 – (1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016)        (1)

Mà:

1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ; … ; 1/2016 đều bé hơn 1/2000. Nên:

1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016 < 16/2000 < 1   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

A = 16 – (1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016) > 15

A > 15

Ta thấy :

2000/2001 = 1 - 1/2001

2001/2002 = 1 - 1/2002

.................................

2015/2016 = 1 - 1/2016

Trong biểu thức A có :

2015 - 2000 + 1 = 16 ( số hạng )

A = 2000/2001 + 2001/2002 + .... + 2015/2016

A  16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... = 1/2016 ) ( 1 )

Mà :

1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ;...;1/2016 đều bé hơn 1/2000 Nên

1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... + 1/2016 < 16/2000 < 1 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra :

A = 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ...  +1/2016 ) < 15

A > 15

Ta thấy : 2000/2001 = 1 - 1/2001 2001/2002 = 1 - 1/2002 ................................. 2015/2016 = 1 - 1/2016 Trong biểu thức A có : 2015 - 2000 + 1 = 16 ( số hạng ) A = 2000/2001 + 2001/2002 + .... + 2015/2016 A 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... = 1/2016 ) ( 1 ) Mà : 1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ;...;1/2016 đều bé hơn 1/2000 Nên 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... + 1/2016 < 16/2000 < 1 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : A = 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... +1/2016 ) < 15 A > 15

2000/2001<1

2001/2002<1

2002/2003<1

...

2015/2016<1

=>2000/2001+2001/2002+2002/2003+2003/2004+...+2015/2016<1+1+1+1+1+...+1=15

Vậy...   

Ta có:

2000/ 2001 < 1

2001/2002 < 1

..................

2015/ 2016<1

=> 200/2001 + 2001/202+...+ 2015/2016 < 1 + 1+1 +1+...+1( 15 số hạng)

=> 200/2001 + 2001/202+...+ 2015/2016< 1 x 15 = 15

ta có

2000/2001<1; 2001/2002<1; ...;2015/2016<1

=>A=2000/2001+2001/2002+...+2015/2016<1+1+1+....+1=15

=>A<15

Vậy A=2000/2001+2001/2002+...+2015/2016<15

2000-2001+2002-2003+...-2015+2016=6

Ta tách thành :

( 2000+2002+...+2016 ) - ( 2001+2003+...+2015 )

              a                   -            b

Số số hạng của a là:

(2016-2000) :2+1=9(số hạng)

Tổng của a là:

(2016+2000).9:2=18072

Số số hạng của b là :

(2015-2001):2+1=8(số hạng)

tông b là:

(2015+2001).8:2=16064

Ta có:  18072-16064=2008

Đ/s:2008

`#3107.101107`

`2018 - 2017 + 2016 - 2015 + 2014 - ... + 2002 - 2001 + 2000`

Số số hạng của biểu thức trên là:

`(2018 - 2000) \div 1 + 1 = 19` (số hạng)

Hai số hạng cùng ghép với nhau tạo thành 1 cặp

Số cặp có trong biểu thức trên là:

`(19 - 1) \div 2 = 9` (cặp)

Ta có:

`2018 - 2017 + 2016 - 2015 + ... + 2002 - 2001 + 2000`

`= (2018 - 2017) + (2016 - 2015) + ... + (2002 - 2001) + 2000`

`= 1 + 1 + .... + 1 + 2000`

Vì trong biểu thức trên có `9` cặp

`\Rightarrow 9 + 2000`

`= 2009`

Vậy giá trị của biểu thức trên là `2009.`

Số số hạng của dãy trên là :

   `( 2018 - 2000 ) : 1 + 1 = 19` ( số )

Suy ra dãy trên có số cặp số là : `19 : 2 = 9` ( dư 1 )

Ta có :

`2018 - 2017 + 2016 - 2015 + 2014 - ... + 2002 - 2001 + 2000`

`= ( 2018 - 2017 ) + ( 2016 - 2015 ) + 2014 - ... + ( 2002 - 2001 ) + 2000`

`= 1 x 9 + 2000`

`= 2009`

2018 - 2017 + 2016 - 2015 + 2014 - ... + 2002 - 2001 + 2000

= (2018 + 2016 + ... + 2000) - (2017 + 2015 + 2013 + ... + 2001)

= (2018 + 2000) × [(2018 - 2000) : 2 + 1] : 2 - (2017 + 2001) × [(2017 - 2001) : 2 + 1) : 2

= 20090 - 18081

= 2009