Giải hộ mình bài toán sau:
1. Cho 3 số x, y, z thỏa mãn:
xy + yz+ zx = 8
x + y + z = 5
Tìm giá trị nhỏ nhất, lỡn nhất của x.
2. Cho 3 số x, y, z thỏa mãn:
xy + yz + zx = 1
x2+y2+z2=2
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của x.
Với x; y; z là các số thực thỏa mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4 + x 4 + 4 + y 2 + 4 + z 2
A. P min = 5
B. P min = 3 5
C. P min = 5 3
D. P min = 3
Cho các số thực x, y, z thay đổi và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y + y z + 2 x z 2 − 8 x + y + z 2 − x y − y z + 2
A. min P = − 5
B. min P = 5
C. min P = 3
D. min P = − 3
Đáp án D
Ta có C 12 1 . C 10 1 = 120
Khi đó C 12 1 . C 10 1 = 120 . Đặt C 12 1 . C 10 1 = 120
Ta luôn có C 12 1 . C 10 1 = 120
C 12 1 . C 10 1 = 120 Suy ra C 12 1 . C 10 1 = 120
Xét hàm số f t = t 2 − 8 t + 3 trên khoảng − 1 ; + ∞ ,có f ' t = 2 t + 1 2 t + 4 t + 3 2 > 0 ; ∀ t > − 1
Hàm số f(t) liên tục trên − 1 ; + ∞ ⇒ f t đồng biến trên − 1 ; + ∞
Do đó, giá trị nhỏ nhất của f(t) là min − 1 ; + ∞ f t = f − 1 = − 3 . Vậy P min = − 3
Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số \(\frac{xy}{z};\frac{yz}{x}\)dương ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)(1)
Tương tự. \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}}=2\sqrt{z^2}=2z\) (2);
\(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{zx}{y}}=2\sqrt{x^2}=2x\)(3)
Cộng từng vế của (1)(2)(3) ta được \(2.\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)=2\Rightarrow P\ge1\)
Vậy Min P = 1 tại x= y = z = 1/3
cho ba số thực x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=xyz. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=\(\dfrac{x^2}{9z+zx^2}\)+\(\dfrac{y^2}{9x+xy^2}\)+\(\dfrac{z^2}{9y+yz^2}\)
cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn xyz=1 . tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
bạn bui thai hoc sao lại cmt linh tinh vậy :)) bạn ko có học thức à :> mà ý bạn cmt như vậy là sao hả ?
cho x; y; z thỏa mãn x^2 + y^2 +z^2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của xy +yz+2.zx?
Cách 1:
Ta có \(A=xy+yz+2zx\)
\(\Rightarrow A+1=x^2+y^2+z^2+xy+yz+2zx\)
\(=\left(x+z+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=0\\x=-z\end{cases}}\)
Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge\frac{-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\)
Lại có : \(\left(x+z\right)^2\ge0\Rightarrow xz\ge\frac{-\left(x^2+z^2\right)}{2}=\frac{y^2-1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)
Khi đó : \(xy+yz+2zx\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=o\\x^2=z^2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Cách 2
Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge\frac{-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=\frac{-1}{2}\)
Mặt khác: \(\left(x+z\right)^2\ge0\Rightarrow xz\ge\frac{-\left(x^2+z^2\right)}{2}=\frac{y^2-1}{2}\ge\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow xy+yz+2xz\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=0\\x=-z\end{cases}}\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A =\(\dfrac{1}{x+y+z}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\)
Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z^2+2}{z+xy}\)
Theo giả thiết ta có : \(x+yz=yz-z-1=\left(z-1\right)\left(y+1\right)=\left(x+y\right)\left(y+1\right)\)
Tương tự : \(y+zx=\left(x+y\right)\left(x+1\right)\)
Và \(z+xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
Nên \(P=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(=\frac{x^2+y^2+x+y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
Ta có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\)
nên \(P\ge\frac{2\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2\left(x+y\right)}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{2\left(x+y\right)+4}{\left(x+y+2\right)^2}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\)
\(=\frac{2}{z+1}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(z+1\right)^2}=f\left(z\right);z>1\)
Lập bảng biến thiên ta được \(f\left(z\right)\ge\frac{13}{4}\) hay min \(P=\frac{13}{4}\) khi \(\begin{cases}z=3\\x=y=1\end{cases}\)
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
Tính giá trị lớn nhất của B=xy+yz+zx
Với mọi x,y,z ta luôn có
(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2\(\ge\)0
<=> 2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx\(\ge\)0
<=> x2+y2+z2-xy-yz-zx\(\ge\)0
<=> (x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)-3xy-3yz-3zx \(\ge\)0
<=> (x+y+z)2\(\ge\)3(xy+yz+zx)
<=> 9\(\ge\)3(xy+yz+zx)
<=> 3\(\ge\)xy+yz+zx = B
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy max B=3 <=> x=y=z=1