Bài 1

a) Để x-3/x+3 là một số nguyên thì x+3 khác 0 và x-3 ko chia hết cho x+3

=>x+3-6 ko chia hết cho x+3

=>6 ko chia hết cho x-3

=>x-3 ko thuộc Ư(6)={1;2;3;6;-1;-2;-3;-6}

=> x-3 khác {1;2;3;6;-1;-2;-3;-6}

=>x khác {4;5;6;9;2;1;0;-3}

b) Để A là một số nguyên thì x-3 chia hết cho x+3

=>x+3-6 chia hết cho x-3

=>6 chia hết cho x-3

=>x-3 thuộc Ư(6)={1;2;3;6;-1;-2;-3;-6}

Đến đây bn tự lm phần còn lại nha

Bài 2:

Câu a  lm giống như câu b bài 1 nha bn

b) Bn tham khảo nha

 https://hoidap247.com/cau-hoi/346697

Tìm cái bài thứ hai ý nhưng nhìn hơi khó

https://olm.vn/hoi-dap/question/522644.html

Bạn tham khảo nha

Đề bài hơi khác

Ta có : \(A=\frac{x+3}{x-2}=\frac{x-2+5}{x-2}=1+\frac{5}{x-2}\)

Vậy để A là số nguyên thì \(5⋮x-2\Leftrightarrow x-2\inƯ\left(5\right)=\left(\pm1;\pm5\right)\)

Ta có bảng sau : 

Vậy khi \(x\in\left(3;1;7;-3\right)\)thì A là 1 số nguyên

A= \(\frac{x+3}{x-2}\)= \(\frac{x-2+5}{x-2}\)= 1+\(\frac{5}{x-2}\). Vậy để A nguyên thì \(\frac{5}{x-2}\)phải nguyên. Để \(\frac{5}{x-2}\)nguyên thì 5 phải chia hết cho x-2 hay x-2 thuộc ước của 5
từ đó suy ra x-2= 1,-1,5 hoặc -5
\(\Rightarrow\)x=3,1,7,-3

Ta có \(M=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+1\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1\)

Đặt \(t=x^2+5x+5\)Khi đó

\(M=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2=\left(x^2+5x+5\right)^2\)

Vì x nguyên nên \(x^2+5x+5\)nguyên \(\Rightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2\)là bình phương của 1 số nguyên (đccm)

Hok tốt!!

a,M=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x²+5x+4)(x²+5x+6)

đặt x²+5x+5=a ta có

M=(a-1)(a+1)+1

=a²-1+1=a

thay a =x²+5x+5 ta có A=(x²+5x+5)² 

  vậy M là bình phương của 1 số nguyên với mọi x nguyên

vì x nguyên nên x²+5x+5 nguyên 

\(a)\)

Để x là số nguyên

\(\Rightarrow\frac{2}{2a+1}\)là số nguyên

\(\Rightarrow2⋮2a+1\Rightarrow2a+1\inƯ\left(2\right)\Rightarrow2a+1\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Ta có:

\(b)\)

Ta có:

\(\frac{6\left(x-1\right)}{3\left(x+1\right)}\) thuộc số nguyên

\(=\frac{6x-1}{3x+1}=\frac{6x+2-3}{3x+1}=\frac{6x+2}{3x+1}-\frac{3}{3x+1}=2-\frac{3}{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow3⋮3x+1\Rightarrow3x+1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(3x+1=1\Leftrightarrow3x=0\Leftrightarrow x=0\left(TM\right)\)

\(3x+1=-1\Leftrightarrow3x=-2\Leftrightarrow x=\frac{-2}{3}\)(Loại)

\(3x+1=3\Leftrightarrow3x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)(Loại)

\(3x+1=-3\Leftrightarrow3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{-4}{3}\)(Loại)

a) để\(\frac{5}{x+1}\)là số nguyên 

<=> x + 1 E Ư(5) (x khác -1)

<=> x + 1 E {1;-1;5.-5}

  x + 1 =1 => x = 2

  x + 1 = -1 => x = 0

  x + 1 = 5 => x = 6

  x + 1 = -5 => x = -4

a) để \(\frac{5}{x+1}\)là số nguyên

< = > x + 1 E Ư ( x khác -1 )

< = > x + 1 E (1;-1;5;-5)

x + 1 = 1 = > x = 2

x + 1 = -1 = > x = 0

x + 1 = 5 = > x = 6

x + 1 = -5 = > x = 4

Đáp số :.................

a) Để \(\frac{5}{x+1}\)là số nguyên thì: \(5\) \(⋮\)\(x+1\)

\(\Rightarrow\)\(5\in\)ƯC(\(x+1\)) = { 1 ; -1 ; 5 ; - 5 }

Ta có:

\(x+1=1\)\(\Rightarrow\)\(x=0\)

\(x+1=-1\)\(\Rightarrow\)\(x=-2\) 

\(x+1=5\)\(\Rightarrow\)\(x=4\)

\(x+1=-5\)\(\Rightarrow\)\(x=-6\)

\(y=\dfrac{2x-3}{x-2}=\dfrac{2\left(x-2\right)+1}{x-2}=2+\dfrac{1}{x-2}\in Z\\ \Leftrightarrow x-2\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\\ \Leftrightarrow x\in\left\{1;3\right\}\)

Ta có:

\(VT=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}+\frac{\left(n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}+\frac{n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2\left(n+1\right)}\left(1\right)\)

\(VP=\frac{\left(n^2+n+1\right)}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2\left[n\left(n+1\right)\right]}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2\left(n^2+1\right)}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2n^2+2n}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+2n+1+2n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

=>đpcm

Vì \(\sqrt{x}\)là một số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{x}\)có dạng \(\frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\)là một phân số tối giản)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\)và theo đề bài \(\frac{a}{b}\ne0\Rightarrow\frac{a}{b}\ge0\)

\(\Rightarrow a,b\)là những số nguyên dương (1)

Vì \(\sqrt{x}\)có dạng \(\frac{a}{b}\Rightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\Rightarrow x=\frac{a^2}{b^2}\)(2)

Vì \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản

\(\Rightarrow a,b\)là hai số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\)ƯCLN(a,b)=1

Vì \(a^2\) có Ư(a), \(b^2\)có Ư(b)

\(\Rightarrow a^2,b^2\) là hai số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\)ƯCLN(\(a^2,b^2\))=1

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}\) là phân số tối giản (3)

Từ (1), (2) và (3)

=>đpcm