-Tham khảo:

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=45441263315&q=T%C3%ACm%20nghi%E1%BB%87m%20nguy%C3%AAn%20c%E1%BB%A7a%20ph%C6%B0%C6%A1ng%20tr%C3%ACnh%20sau%C2%A0%5C%28x%5E6%203x%5E2%201%3Dy%5E4%5C%29

Ta có:

\(x^6+3x^2+1=y^4\)

\(\Leftrightarrow4x^6+12x^3+4=4y^4\)

\(\Leftrightarrow4x^6+12x^3+9=4y^4+5\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3+3\right)^2-4y^4=5\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3+2y^2+3\right)\left(2x^3-2y^2+3\right)=5\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x^3+2y^2+3=5\\2x^3-2y^2+3=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=0;y=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x^3+2y^2+3=-1\\2x^3-2y^2+3=-5\end{cases}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{-6}}\) (loại)

Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\)

Nhận thấy x = 0 và y = \(\pm1\) là nghiệm nguyên của phương trình 

+) Với x = 0 

 \(\left(x^3+1\right)^2=x^6+2x^3+1< x^6+3x^3+1=y^4< x^6+4x^3+4=\left(x^3+2\right)^2\)

=> \(x^3+1< y< x^3+2\) (Vô lý) 

+) Với x < 0 

   -) Với x = -1 => y⁴ = -1 (vô nghiệm)

   -) Với x \(\le-2\)

      \(\left(x^3+2\right)^2< x^6+3x^3+1=y^4< x^6+2x^3+1=\left(x^3+1\right)^2\)

=> \(\left|x^3+2\right|< y^2< \left|x^3+1\right|\)  (Vô lý )

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm thõa mãn đề bài là (0;1) và (0;-1) 

Đây là đáp án đúng nhất :
Ta có :
(x2+1)3=x6+3x4+3x2+1≥x6+3x2+1>(x3)2(x2+1)3=x6+3x4+3x2+1≥x6+3x2+1>(x3)2
Mà : x6+3x2+1=y3x6+3x2+1=y3
⇒x6+3x2+1=(x2+1)3⇒x=0⇒y=1⇒x6+3x2+1=(x2+1)3⇒x=0⇒y=1

+với \(x=0\Rightarrow y=1\)   ko TM (DO \(x,y\inℕ^∗\) (bạn thay vào là tìm đc y nhé)(2)

+xét \(x\ne0;x,\inℕ^∗\Rightarrow x\ge1\)

do vậy nên ta có điều sau: \(x^6+2x^3+1< x^6+3x^3+1< x^6+4x^3+4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+1\right)^2< y^4< \left(x^3+2\right)^2\)

do \(x^3+1\) và \(x^3+2\) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên giữa bình phương của chúng sẽ ko có số ào cả vì vậy nếu  \(x\ge1\) thì ko tìm đc y(2)

từ 1 và 2=> PT vô nghiệm

→Xét\( x ≥ 1\) thì: 

\(x⁶ + 3x³ + 1 > x⁶ + 2x³ + 1 = (x³ + 1)² \)

\(và x⁶ + 3x³ + 1 < x⁶ + 4x³ + 4 = (x³ + 2)² \)

\(=> (x³ + 1)² < y⁴ = x⁶ + 3x³ + 1 < (x³ + 2)² \)

=> y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp 

=> pt đã cho vô nghiệm với \(x ≥ 1 \)

→Xét x = 0: tính được \(y = ± 1 => pt có 2 nº (0; -1) và (0;1) \)

→Xét\( x = -1: y⁴ = -1 (vô nº) \)

→Xét x ≤ -2: để dễ nhìn đặt \( z = -x => z ≥ 2 \)

pt trở thành: \(y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1\) 

Ta thấy: \(z⁶ - 3z³ + 1 < z⁶ - 2z³ + 1 (vì z ≥ 2) \)

\(=> z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)² \)

và \((z⁶ - 3z³ + 1) - (z⁶ - 4z³ + 4) = z³ - 3 > 0 (do z³ ≥ 8) \)

\(=> z⁶ - 3z³ + 1 > z⁶ - 4z³ + 4 = (z³ - 2)² \)

Do đó: \((z³ - 2)² < y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)² \)

=> \(y⁴ \)nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp 

=> pt đã cho vô nº với \(x ≤ -2 \)

Kết luận pt đã cho có 2 nº là \((0; -1) và (0;1) \)

→Xét x ≥ 1 thì:  x⁶ + 3x³ + 1 > x⁶ + 2x³ + 1 = (x³ + 1)²  và x⁶ + 3x³ + 1 < x⁶ + 4x³ + 4 = (x³ + 2)²  => (x³ + 1)² < y⁴ = x⁶ + 3x³ + 1 < (x³ + 2)²  => y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp  => pt đã cho vô nghiệm với x ≥ 1  →Xét x = 0: tính được y = ± 1 => pt có 2 nº (0; -1) và (0;1)  →Xét x = -1: y⁴ = -1 (vô nº)  →Xét x ≤ -2: để dễ nhìn đặt z = -x => z ≥ 2  pt trở thành: y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1  Ta thấy: z⁶ - 3z³ + 1 < z⁶ - 2z³ + 1 (vì z ≥ 2)  => z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)²  và (z⁶ - 3z³ + 1) - (z⁶ - 4z³ + 4) = z³ - 3 > 0 (do z³ ≥ 8)  => z⁶ - 3z³ + 1 > z⁶ - 4z³ + 4 = (z³ - 2)²  Do đó: (z³ - 2)² < y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)²  => y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp  => pt đã cho vô nº với x ≤ -2  Kết luận pt đã cho có 2 nº là (0; -1) và (0;1)