Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\forall a,b,c\\\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\forall a,b,c\\\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\forall a,b,c\end{cases}}\)

Nhân vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : 

\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\left(1\right)\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)>0\)

Mà dễ thấy \(abc>0\)

Nên từ \(\left(1\right)\) : \(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)(đpcm)

Đặt a+b-c=x; b+c-a=y; a+c-b=z

Ta có: x+y>=2 căn xy (bđt cauchy)

Tương tự: y+z>=2 căn yz

                z+x>=2 căn zx

=> (x+y)(y+z)(z+x)>=8xyz

<=> 2b.2c.2a>=8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

<=> 8abc>=8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

<=> abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

Vậy abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

(a+b&#x2212;c)(b+c&#x2212;a)&#x2264;(a+b&#x2212;c+b+c&#x2212;a)24=b2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-size:18.18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">(a+b−c)(b+c−a)≤(a+b−c+b+c−a)24=b2

Thiết lập các bất đửng thức tương tự cộng lại ta có dpcm.

Đặt a+b-c=x; b+c-a=y; a+c-b=z

Ta có: x+y>=2 căn xy (bđt cauchy)

Tương tự: y+z>=2 căn yz

                z+x>=2 căn zx

=> (x+y)(y+z)(z+x)>=8xyz

<=> 2b.2c.2a>=8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

<=> 8abc>=8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

<=> abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

Vậy abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

áp dụng BĐT AM-GM là ((a+b)/2)²>=ab vói mọi a, b >0 
=>(a+b-c+b+c-a)²/4 >=(lớn hơn bằng) (a+b-c)(b+c-a)    ( 3 cạnh của 1 tam giác là số dương)
=>b²>= (a+b-c)(b+c-a)      (1)
Tương tự có a² >=(a+b-c)(c+a-b)     (2)
              và  c² >=(b+c-a)(c+a-b)      (3)
Nhân  các vế của (1) (2) và (3) được:
  (abc)²>=[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]²
=> abc >= (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)  ( điều phải chứng minh)

Bằng nhau

a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .

ta áp dụng (a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)) >=9 

dễ chứng minh bdt phụ này 

rùi từ đây suy ra 3(a-b)(b-c)(c-a) = 0 => a=b=c (1)

mà lên bđt phụ trên thì xảy ra khi a=b=c (1)

từ (1) , (2) , ta suy ra a=b=c hay đpcm 

vì k chặt chẽ lắm nên thông cảm

\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)

Ta có

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều

Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

         \(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)

        \(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

        \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)

        \(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)

        \(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)

        \(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)

        \(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)

        \(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 ⁽²⁾

Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)

                        \(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)

                        \(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều

\(VT-VP=\frac{\Sigma_{cyc}\left(a-b+c\right)\left(a-b\right)^2}{abc}\ge0\) ( do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác )