\(xy+yz+zx=\frac{\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}\)

Đặt \(a=x+y+z\)

\(A=a-\frac{a^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\left(a-1\right)^2+\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{1}{2}\le\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=5\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\int^{x^2+y^2+z^2=9}_{x+y+z=1}\)

có rất nhiều bộ số thỏa hệ trên, ví dụ \(\left(x;y;z\right)=\left(1;\text{ }2;\text{ }-2\right)\)

Vậy Max A = 5

với mọi x, y, z ta có: 
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0 
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0 
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0 
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z) 
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx 
=>xy +yz + zx <=3 
dấu = xảy ra khi x=y=z =1

ai tích mình tích lại nhưng phải lên điểm mình tích gấp đôi

bạn kia có chỗ sai nha. 

*Max

Có: \(x^2+4\ge4x\)

        \(y^2+4\ge4y\)

      \(z^2+4\ge4z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+12\ge4\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+12}{4}\)

Lại có \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(Auto chứng minh)

Cộng 2 vế của bdtd lại ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\le\frac{5\left(x^2+y^2+z^2\right)+12}{4}\)

                                                                                                     \(=\frac{5.12+12}{4}=18\)

"=" KHI x = y= z = 2

*Min : ta có : \(12+2\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                                                      \(=\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge-6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x + y + z = 0

Với các giá trị trên ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\ge0-6=-6\)

Dấu "=" <=> x + y + z = 0 và x² + y² + z² = 12

bạn ơi mình giải thế này thì sao nhỉ:

đặt x+y+z=a=> \(a^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

=> \(xy+yz+zx=\frac{a^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}\ge\frac{a^2-12}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge a+\frac{a^2-12}{2}\ge-\frac{13}{2}\)( dùng hằng đẳng thức c/m)

dấu " =" <=> \(\hept{\begin{cases}x+y+z=-1\\x^2+y^2+z^2=12\end{cases}}\)

bạn xem thử hộ mik cái =)

 Mình nghĩ thế này ạ

xy + 2(yz + xz) =5 => xy + 2yz + 2xz =5

Mình áp dụng bất đẳng thức này nhé :)
Ta có:  \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\forall x,y\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge xy\forall x,y\)(1)

Chứng minh tương tự ta được \(y^2+z^2\ge2yz\forall y,z\)(2)

\(x^2+z^2\ge2xz\forall x,z\)(3)

Cộng vế (1) (2) (3) ta được \(\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+y^2+z^2+x^2+z^2\ge xy+2yz+2xz\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+x^2+y^2+z^2+z^2\)\(\ge5\)\(\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2+2z^2\ge5\forall x,y,z\)

nhân cả 2 vế với 2 nè

\(\Rightarrow3x^2+3y^2+4z^2\ge10\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)+4z^2\ge10\forall x,y,z\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z;x=z\\xy+2\left(yz+xz\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+2.\left(x^2+x^2\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\5x^2=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}}\)x=y=z = 1 hoăc 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 10 tại x=y=z=1;-1

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :

\(P=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\)

\(\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)

\(\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(4x^2+4y^2\ge8xy\)

\(16x^2+z^2\ge8zx\)

\(16y^2+z^2\ge8yz\)

Cộng vế với vế:

\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

mong mọi người nhanh giúp