\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

Áp dụng BĐT cô si ta có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

LÀm tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\\\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\end{cases}}\Rightarrowđpcm\)

Vậy GTNN của S =6 khi a=b=c

Kẹp 1<S<2 ^^ 

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}.\)

\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\left(1\right)\)

\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\left(2\right)\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(3\right)\)

Cộng (1) ; (2) và (3) ta được :

\(S=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge6\) (đpcm)

Làm ơn có ai làm giúp mình đi! Một bài thôi cũng được.

Này m đk lm đề này ak , t bh mới đk cô cho lm . Mẹ khó vãi , mỗi câu đầu m hỏi t làm đk thôi

a) A thuộc { abc ; acb ; bac ; bca ; cab ; cba }

b) 2 số nhỏ nhất trong tập hợp A là abc , acb. Theo đầu bài ta có :

abc + acb = 488

( 100a + 10b + c ) + ( 100a + 10c + b ) = 488

( 100a + 100a ) + ( 10b + b ) + ( c + 10c ) = 488

200a + 11b + 11c = 488

200a + 11 ( b + c ) = 488

=> 488 : 200 = a ( dư 11 ( a + b ) ) <=> 488 : 200 = 2 ( dư 88 )

=> a = 2

11 ( b + c ) = 88

=> b + c = 8

Do a < b < c nên 2 < b < c 

Mà b + c = 8

=> b = 3 ; c = 5

Vậy a + b + c = 2 + 3 + 5 = 10

\(a,S=\left[\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right]+\left[\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right]+\left[\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right]\)

\(S=\left[\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right]+\left[\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right]+\left[\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right]\)

\(S\ge2+2+2=6\)

\(b,GTNN\)của \(S=6\Leftrightarrow a=b=c\inℕ\)

Ta có : \(x+y\left(2+3x\right)=3\Leftrightarrow y=\frac{3-x}{3x+2}\)  ( vì x > 0 ) 

Khi đó : \(x+y=x+\frac{3-x}{3x+2}=\frac{3x^2+x+3}{3x+2}=A\) 

Chứng minh được :  \(A\ge\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\) => ...