1/

Gọi d là ước của n+3 và 2n+5 nên

\(n+3⋮d\Rightarrow2n+6⋮d\)

\(2n+5⋮d\)

\(\Rightarrow2n+6-\left(2n+5\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> n+3 và 2n+5 nguyên tố cùng nhau

2/

\(5A=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{100}\)

\(4A=5A-A=5^{100}-1\Rightarrow4A+1=5^{100}=\left(5^{50}\right)^2\) LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

3/

Tích của 2 số chẵn liên tiếp là

\(2n.\left(2n+2\right)=4n^2+4n=4n\left(n+1\right)\)

Ta có 

\(n\left(n+1\right)\) Là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp và là số chẵn

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)=2k\)

\(\Rightarrow4n\left(n+1\right)=4.2k=8k⋮8\)

Ta có: \(\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)(đpcm)

50) \(\sqrt{98-16\sqrt{3}}=4\sqrt{6}-\sqrt{2}\)

51) \(\sqrt{2-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)

52) \(\sqrt{4+\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}\)

53) \(\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}\)

54) \(\sqrt{6-\sqrt{35}}=\dfrac{\sqrt{12-2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{10}}{2}\)

55) \(\sqrt{2+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

56) \(\sqrt{4-\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}\)

Can bac 8

Đễ