\(P\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x^4-x^2=-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{1}{2}x^2=-\dfrac{1}{2}x^2\left(x-1\right)\)

Vì x(x-1) chia hết cho 2 với mọi số nguyên x 

nên P(x) luôn là số nguyên nếu x nguyên

* \(P\left(x\right)=4x^3-\frac{3}{2}x^2-x+10\)

\(P\left(-2\right)=4\cdot\left(-2\right)^3-\frac{3}{2}\cdot\left(-2\right)^2-\left(-2\right)+10\)

\(=4\cdot\left(-8\right)-6+2+10\)

\(=-26\)

* H(x) + Q(x) = P(x)

<=> H(x) = P(x) - Q(x)

H(x) = \(4x^3-\frac{3}{2}x^2-x+10-\left(10-\frac{1}{2}x-2x^2+4x^3\right)\)

        = \(4x^3-\frac{3}{2}x^2-x+10-10+\frac{1}{2}x+2x^2-4x^3\)

        = \(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x\)

* H(x) luôn nguyên với mọi x 

Chỗ này bạn xem lại đề 

a, Ta có : \(P\left(-2\right)=4\left(-2\right)^3-\frac{3}{2}\left(-2\right)^2-\left(-2\right)+10\)

\(=-32.\left(-6\right)+2+10=192+2+10=204\)

b, \(H\left(x\right)+Q\left(x\right)=P\left(x\right)\)

\(H\left(x\right)=P\left(x\right)-Q\left(x\right)\)

\(H\left(x\right)=4x^3-\frac{3}{2}x^2-x+10-10+\frac{1}{2}x+2x^2-4x^3\)

\(=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x\)

a, Với \(x=-2\)suy ra :

\(P\left(x\right)=4\left(-2\right)^3-\frac{3}{2}\left(-2\right)^2-\left(-2\right)+10\)

\(=4.8-\frac{3}{2}.4+12=32-6+12\)

\(=32+6=38\)

Vậy với \(x=-2\)thì \(P\left(x\right)=38\)

b, Ta có : \(H\left(x\right)+Q\left(x\right)=P\left(x\right)\)

\(< =>H\left(x\right)=P\left(x\right)-Q\left(x\right)\)

\(< =>H\left(x\right)=\left(4x^3-\frac{3}{2}x^2-x+10\right)-\left(10-\frac{1}{2}x-2x^2+4x^3\right)\)

\(< =>H\left(x\right)=\left(4x^3-4x^3\right)+\left(-\frac{3}{2}x^2+2x^2\right)+\left(-x+\frac{1}{2}x\right)+\left(10-10\right)\)

\(< =>H\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x=\left(\frac{1}{2}x\right)\left(x-1\right)\)

a, \(P=\left(x+2\right)^3+\left(x-2\right)^3-2x\left(x^2+12\right)\)

\(=x^3+6x^2+12x+8+x^3-6x^2+12x-8-2x^3-24x=0\)

Vậy biểu thức ko phụ thuộc biến x 

b, \(Q=\left(x-1\right)^3-\left(x+1\right)^3+6\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)

\(=x^3-3x^2+3x-1-\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+6\left(x^2-1\right)\)

\(=-6x^2-2+6x^2-6=-8\)

Vậy biểu thức ko phụ thuộc biến x 

\(a)\)

\(P=\left(x+2\right)^3+\left(x-2\right)^3-2x\left(x^2+12\right)\)

\(\Leftrightarrow P=x^3+6x^2+12x+8+x^3-6x^2+12x-8-2x^3-24x\)

\(\Leftrightarrow P=0\)

Vậy P không phụ thuộc vào giá trị của biến

\(b)\)

\(Q=\left(x-1\right)^3-\left(x+1\right)^3+6\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow Q=x^3-3x^2+3x-1-x^3-3x^2-3x-1+6x^2-6\)

\(\Leftrightarrow Q=-8\)

Vậy Q không phụ thuộc vào giá trị của biến