Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và góc ngoài tại đỉnh C.

Kẻ KE ⊥ BC, KF ⊥ AC, KD ⊥ AB

Vì K nằm trên phân giác của ∠(CBD) nên:

KD = KE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(BCF) nên:

KE = KF (tính chất tia phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: KD = KF

Điểm K nằm trong ∠(BAC) cách đều 2 cạnh AB và AC nên K nằm trên tia phân giác của ∠(BAC) .

Gọi K là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại B và C

Kẻ KE,KD,KF vuông góc lần lượt với BC,AB,AC

Xét ΔBDK vuông tại D và ΔBEK vuông tại E có

KB chung

\(\widehat{DBK}=\widehat{EBK}\)

Do đó: ΔBDK=ΔBEK

Suy ra: KD=KE(1)

Xét ΔCEK vuông tại E và ΔCFK vuông tại F có

CK chung

\(\widehat{ECK}=\widehat{FCK}\)

Do đó;ΔCEK=ΔCFK

Suy ra: KE=KF(2)

Từ (1) và (2) suy ra KD=KF

hay K nằm trên đường phân giác của góc A(Đpcm)

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B và C của ∆ABC.

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC

Theo định lí thuận về tính chất các điểm thuộc tia phân giác:

Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác của góc B ngoài )

MI = MK ( Vì M thuộc phân giác của góc C ngoài )

Suy ra: MH = MK (cùng bằng MI)

⇒ M thuộc phân giác của góc BAC (định lí đảo về tính chất các điểm thuộc tia phân giác)

Gọi M là giao điểm của 2 tia phân giác 2 góc ngoài B,C

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC ( H ∈ AB, I ∈ BC, K ∈ AC)

Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác của góc B ngoài)

           MI = MK (Vì M thuộc phân giác của góc C ngoài)

  Suy ra : MH = MK => M thuộc phân giác của góc A

Hai phân giác trong của hai \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\)cắt nhau tại I nên I phải thuộc phân giác \(\widehat{A}\).

Từ D hạ DH, DK, DJ vuông góc lần lượt với AB, BC, AC

Ta có: DH = DK (do D thuộc phân giác ngoài của \(\widehat{B}\))

Tương tự: DK = DJ => DH = DJ

=> D thuộc phân giác góc A hay D thuộc AD. Vậy A, I, D thẳng hàng.