GTLN :

\(A=\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{\left(x^2+x+1\right)-x^2}{x^2+x+1}=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}\)

Vì \(\frac{x^2}{x^2+x+1}=\frac{x^2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\forall x\) nên \(A=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}\le1\forall x\) có GTLN là 1

GTNN : 

\(A=\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{-\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}{x^2+x+1}=\frac{-\frac{1}{3}\left(x^2+x+1\right)+\frac{1}{3}\left(x+2\right)^2}{x^2+x+1}\)

\(=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}\left(x+2\right)^2}{x^2+x+1}=-\frac{1}{3}+\frac{\left(x+2\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge-\frac{1}{3}\) có GTNN là \(-\frac{1}{3}\)

để P thuộc Z =>2n+1 chia hết cho n+5

=>2n+10-9 chia hết cho n+5

=>2(n+5)-9 chia hết cho n+5

=>9 chia hết cho n+5

\(\Rightarrow n+5\in\left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-14;-8;-6;-4;-2;4\right\}\)

Vì |x-3| luôn lớn bằng 0 với mọi x

=> |x - 3| + (-100) luôn lớn bằng -100 với mọi x

=> A luôn lớn bằng 100

Dấu "=" xảy ra <=> |x-3| = 0

=> x - 3 = 0

=> x = 3

Vậy Min A = -100 <=> x = 3

Ta có |x - 3| > 0

=> |x - 3| + (-100) > - 100

hay A > 100

Vậy GTNN của A là 100 <=> |x - 3| = 0 <=> x - 3 = 0 <=> x = 3

\(A=\left|x+1\right|+\left|y-2\right|\ge\left|x+1+y-2\right|=\left|x+y-1\right|=\left|5-1\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left(x+1\right)\left(y-2\right)=\left|\left(x+1\right)\left(y-2\right)\right|\)

                                         <=> (x+1)(y-2) lớn hơn hoặc bằng 0

<=> x+1 lớn hơn hoặc bằng 0 và y-2 lớn hơn hoặc bằng 0

       x+1 bé hơn hoặc bằng 0 và y-2 bé hơn hoặc bằng 0

<=> x lớn hơn hoặc bằng -1 và y lớn hơn hoặc bằng 2

       x bé hơn hoặc bằng -1 và y bé hơn hoặc bằng 2

<=> x lớn hơn hoặc bằng 2

       x bé hơn hoặc bằng -1

Vậy A_min = 4 khi và chỉ khi x lớn hơn hoặc bằng 2 hoặc x bé hơn hoặc bằng -1

Ta có:\(P=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+c^2+\frac{1}{c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\)(bđt cauchy-schwarz)

\(P\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{81}+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{80\left(a^2+b^2+c^2\right)}{81}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}+\frac{80\left(a^2+b^2+c^2\right)}{81}\left(AM-GM\right)\)

Sử dụng đánh giá quen thuộc:\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=27\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}+\frac{80\cdot27}{81}=\frac{82}{3}\)

"="<=>a=b=c=3