a) Vì I là giao điểm của tia phân giác B và C nên AI là tia phân giác ( tia phân giác thứ 3) 

Xét tam giác ADI và tam giác AEI ta có :

AI chung ; góc IDA= góc AEI (=90 độ) ; góc DAI=góc AEI (AI phân giác) 

=> Tam giác...=tam giác... (cạnh huyền-góc nhọn)

=> AD=AE (2 cạnh tương ứng)

b) Kẻ IF vuông góc BC 

Xét tam giác BDI và tam giác BFI ta có 

góc BDI=BFI(=90 độ) ; BI chung ; góc DBI= góc IBF (BI phân giác); 

=> tam giác ....= tam giác .. (cạnh huyền-góc nhọn)

=> BD=BF( 2 cạnh tương ứng )

Xét tam giác CFI và tam giác CEI ta có 

góc CFI=CEI(=90 độ) ; CI chung ; góc FCI= góc ECI (BI phân giác); 

=> tam giác ....= tam giác .. (cạnh huyền-góc nhọn)

=> CE=CF( 2 cạnh tương ứng )

Ta có : BF+FC=BC

hay     BD+EC=BC 

Vậy BD+EC=BC

c) Xét tam giác ABC vuông tại A ta có 

            AB²+AC²=BC²

hay      6²+8²= BC²

   => BC²=100

   =>BC=10 (cm)

Ta có BC= BD+CE (câu b)

             = 6-AD+8-AE

             =14-2AD

Hay 14-2AD=BC

       14-2AD=10

            2AD=14-10=4

=> AD=AE=2 (cm)

(Hình tự vẽ nha)

a) Xét tam giác vuông ABC, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

b) Ta có do tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)

Lại có \(\widehat{IBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2};\widehat{ICB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Xét tam giác BIC có \(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=45^o\) nên \(\widehat{BIC}=180^o-45^o=135^o\)

c) Kẻ DH vuông góc BC tại H.

Ta có ngay \(\Delta BAD=\Delta BHD\)   (Cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow AD=HD\)

Lại có : theo quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên thì HD < DC

Suy ra AD < DC

d) Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ I xuống BC.

Ta có I là giao điểm của ba đường phân giác nên IE = IF = IK

Ta có: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=24\left(cm^2\right)\)

Lại có \(S_{ABC}=S_{ABI}+S_{BCI}+S_{CIA}=\frac{1}{2}AB.EI+\frac{1}{2}AC.IF+\frac{1}{2}BC.IK\)

\(=\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right).EI=12.EI\)

Vậy nên \(12.EI=24\Rightarrow EI=2\left(cm\right)\)

Ta thấy AEIF là hình vuông nên AE = AF = 2cm.

a) AI là tai phân giác của góc A nên ID = IE. (1)

Các tam giác vuông ADI, AEI có ˆDAI=ˆEAI=45oDAI^=EAI^=45o nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC:

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82

BC2 = 36 + 64 = 100

⇒BC=√100=10(cm)⇒BC=100=10(cm).

Kẻ IF ⊥⊥ BC

Xét hai tam giác vuông IBD và IBF có:

BI: cạnh huyền chung

ˆIBD=ˆIBFIBD^=IBF^ (gt)

Vậy: ΔIBD=ΔIBF(ch−gn)ΔIBD=ΔIBF(ch−gn)

⇒⇒ BD = BF (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ICE và ICF có:

CI: cạnh huyền chung

ˆICE=ˆICF(gt)ICE^=ICF^(gt)

Vậy: ΔICE=ΔICF(ch−gn)ΔICE=ΔICF(ch−gn)

Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AB + AC - BC = AD + DB + AE + EC - BF - CF.

Do BD = BF, CE = CF nên:

AB + AC - BC = AD + AE

⇒⇒ 6 + 8 - 10 = AD + AE

⇒⇒ AD + AE = 4 (cm).

Theo câu a) ta có AD = AE nên AD = AE = 2cm.

a) AI là tai phân giác của góc A nên ID = IE. (1)

Các tam giác vuông ADI, AEI có ˆDAI=ˆEAI=45oDAI^=EAI^=45o nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC:

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82

BC2 = 36 + 64 = 100

⇒BC=√100=10(cm)⇒BC=100=10(cm).

Kẻ IF ⊥⊥ BC

Xét hai tam giác vuông IBD và IBF có:

BI: cạnh huyền chung

ˆIBD=ˆIBFIBD^=IBF^ (gt)

Vậy: ΔIBD=ΔIBF(ch−gn)ΔIBD=ΔIBF(ch−gn)

⇒⇒ BD = BF (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ICE và ICF có:

CI: cạnh huyền chung

ˆICE=ˆICF(gt)ICE^=ICF^(gt)

Vậy: ΔICE=ΔICF(ch−gn)ΔICE=ΔICF(ch−gn)

Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AB + AC - BC = AD + DB + AE + EC - BF - CF.

Do BD = BF, CE = CF nên:

AB + AC - BC = AD + AE

⇒⇒ 6 + 8 - 10 = AD + AE

⇒⇒ AD + AE = 4 (cm).

Theo câu a) ta có AD = AE nên AD = AE = 2cm.

2:

Xét ΔACB có

BD,CE là phân giác

BD cắt CE tại I

=>I là tâm đường tròn nội tiếp

=>AI là phân giác của góc BAC

Xét ΔMIA có góc MAI=góc MIA

nên ΔMIA cân tại M

=>MA=MI

Xét ΔNIB có góc NIB=góc NBI

nên ΔNIB cân tại N

=>NI=NB

=>MN=MA+NB