vì p>3 nên p có dạng p=3k+1 hoặc p=3k+2 
với p=3k+1 thì p^2-1=(p+1)(p-1)=(3k+2)3k chia hết cho 3 
với p=3k+2 thì p^2-1=(p+1)(p-1)=(3k+3)(3k+1) chia hết cho 3 
vậy với mọi số nguyên tố p>3 thì p^2-1 chia hết cho 3 (1) 
mặt khác cũng vì p>3 nên p là số lẻ =>p+1,p-1 là 2 số chẵn liên tiếp 
=>trong hai sô p+1,p-1 tồn tại một số là bội của 2 
=>p^2-1 chia hết cho 2 (2) 
từ (1) và (2) => p^2-1 chia hết chia hết cho với mọi số nguyên tố p>3

Vì p là số nguyên tố, p>3 nên p không chia hết cho 3

Vì p không chia hết cho 3 nên p có 1 trong 2 dạng: 3k+1, 3k+2(k thuộc N^*)

Xét hai trường hợp:

+)p=3k+1(k thuộc N^*)

Khi đó p²-1=(3k+1)²-1=9k²+6k+1-1=9k²+6k=3(3k²+2k)

Vì k thuộc N^* nên 3k²+2k thuộc N^*

Vì thế 3(3k²+2k) chia hết cho 3 nên p²-1 chi hết cho 3

+)p=3k+2(k thuộc N^*)

Khi đó p²-1=(3k+2)²-1=9k²+12k+4-1=9k²+12k+3=3(3k²+4k+1)

vì k thuộc N^* nên 3k²+4k+1 thuộc N^*

Vì thế 3(3k²+4k+1) chia hết cho 3 nên p²-1 chia hết cho 3

Vậy nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p²-1 chia hết cho 3

Giả sử $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, vì vậy p là số lẻ. Do đó, ta có thể biểu diễn p dưới dạng $p=2k+1,$ với $k$ là một số nguyên không âm.

Thay $p$ vào $p^2-1$, ta có: $p^2$ $-$ $1$ $=$ ${(2k+1)}^2$$-$$1$$=$$4k^2+4k+1-1$$=$$4k(k+1)$

Ta nhận thấy rằng một trong hai số $k$ hoặc $k+1$ phải là số chẵn. Vì vậy, một trong hai số $k$ hoặc    $k+1$ chia hết cho $2$. Vì vậy, $p^2$$-$$1$ chia hết cho $2.4=8.$

Ngoài ra, vì p là số nguyên tố lớn hơn $3$, nên p không chia hết cho $3$. Vì vậy, $k$ và $k+1$ không thể đều chia hết cho $3$. Do đó, $k$ hoặc $k+1$ phải chia hết cho $3$. Vì vậy, $p^2$$-$$1$ chia hết cho $3$.

Tổng hợp lại, $p^2$$-$$1$ chia hết cho $8$ và $3$. Vì $8$ và $3$ nguyên tố cùng nhau, nên $p^2$$-$$1$ chia hết cho $8.3=24.$

Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p²-1=p²-1²=(p-1)(p+1)

Ta đặt A=(p-1)p(p+1) thì A chia hết cho 3

Mặt khác (p;3)=1

=>(p-1)(p+1) chia hết cho 3 hay p²-1 chia hết cho 3

Vì p là số nguyên tô lớn hơn 3 nên p ko chia het cho 3

Do đó p^2 chia cho 3 dư 1 tức p^2=3k+1

=>p^2-1=3k+1-1=3k chia het cho 3(đpcm)

Vậy p^2-1 chia het cho 3

Tĩck nhé

p là SNT, p>3 => p có dạng 3k+1 và 3k+2(k thuộc N*)

+)p=3k+1 => p^2-1 = (3k+1)^2-1

                              =(3k)^2+2.3k.1+1^2-1

                              =9.k^2+6k 

                            =>p^2-1 chia hết cho

+)p=3k+2=> p^2-1 = (3k+2)^2-1

                              =(3k)^2+2.3k.2+2^2-1

                              =9.k^2+12k +3

                            =>p^2-1 chia hết cho 

Vậy ..........

Theo đề bài: p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> p là số lẻ

=> p = 2k + 1 ( \(k\in z;k>1\))

=> A = (p - 1)( p +1 ) = 2k(2k+2) = 4k(k+1)

=> A chia hết cho 8  (1)

Ta lại có: p = 3n + 1 hoặc 3n - 1 (\(n\in Z,N>1\))

=> A chia hết cho 3   (2)

Từ (1) và (2) => A chia hết cho 24

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ. Do đó, p = 2k + 1 (k nguyên và k > 1) suy ra:

A = (p – 1).(p + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1) suy ra A chia hết cho 8.

Ta có: p = 3h + 1 hoặc 3h – 1 (h nguyên và h > 1) suy ra A chia hết cho 3.

Vậy A = (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24

+) Với p = 3k + 1:

=> (p – 1)(p + 1) = 3k.(3k + 2) ⋮ 3 (2a)

+) Với p = 3k + 2:

=> (p – 1)(p + 1) = (3k – 1).3.(k + 1) ⋮ 3 (2b)

Từ (2a), (2b) suy ra: (p – 1)(p + 1) ⋮ 3      (2)

Vì (8, 3) = 1, từ (1) và (2) suy ra: (p – 1)(p + 1) ⋮ 24 (đpcm).

p là số nguyên tố > 3 nên p không chia hết cho 3, do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. 
- Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1)
- Nếu p = 3k - 1 thì p + 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) -> (p-1)(p+1) luôn chia hết cho 3 (3) 
Mặt khác, p là số nguyên tố > 3 nên p là số lẻ -> p = 2h + 1 -> (p - 1)(p + 1) = (2h + 1 - 1)(2h + 1 + 1) = 2h(2h + 2) = 4h(h +1) 
h(h + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp -> h(h + 1) chia hết cho 2 -> 4h(h + 1) chia hết cho 8 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8 (4) 
Ta lại có: 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau (5) 
Từ (3), (4) và (5) -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.

bai toan nay kho qua