Gọi phân số dương là a/b ta có:

Giả sử a>b và a=b+m

suy ra: a/b+b/a

=b+m/b + b/b+m

=1 + m/b + b/b+m>1 + m/b+m + b/b+m=2

vậy tổng của 1 phân số dương và phân số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2

Ta có: 1a+1b+1c=1

Không mất tính tổng quát giả sử a≥b≥c.

Nếu c≥4→1a+1b+1c≤34<1.

Nên: c=1,2,3. Thử từng giá trị, tiếp tục dùng phương pháp như trên tìm được a,b.

Bài này là 1 bài rất cơ bản về phương pháp xuống thang (sắp xếp thứ tự), bạn có thể tìm thấy nhiều tài liệu (các sách viết về phương trình nghiệm nguyên đều có bài tương tự thế này).

Gọi phân số đó là \(\frac{a}{b}\)

ĐK: (a,b khác 0 và cùng dấu)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) 

Vậy: đpcm

Gọi phân số dương là a/b. Không mất tính tổng quát, giả sử a>0, b>0 và a≥b. Ta có thể viết a=b+m (m≥0). Ta có:

(a/b)+(b/a)=b/(b+m)≥1+[m/(b+m)]+[b/(b+m)]=1+[(m+b)/(b+m)]=2.

Vậy (a/b)+(b/a)=2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b (m=0).

Cả hai số đó đều là 8

giải chi tiết giúp mik vs

a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)

Theo bài ra, ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì (a-b)² chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

                                Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.

Dễ thôi

Ta có: \(a^2+b^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\sqrt{\left(ab\right)^2}=ab\)

Suy ra: \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

Suy ra: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Vậy đpcm