Ta có : f(0) = a . 0² + b . 0 + c = c  \(\in\)Z 

f(1) = a . 1² + b . 1 + c = a + b + c 

vì  c \(\in\)Z \(\Rightarrow\)a + b \(\in\)Z ( 1 )

f(2) = a . 2² + b . 2 + c = 4a + 2b + c = 2 . ( 2a + b ) + c 

vì c \(\in\)Z \(\Rightarrow\)2 . ( 2a + b ) \(\in\)Z \(\Rightarrow\)2a + b \(\in\)Z ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)( 2a + b ) - ( a + b )    \(\in\)   Z \(\Rightarrow\)a \(\in\)Z

\(\Rightarrow\)b \(\in\)Z

Vậy f(x) thuộc Z \(\forall\)x thuộc Z

Vì f(0)=c nên c EZ

f(1)=a+b+c mà c EZ nên a+bEZ

f(2)=4a+2b+c mà cEZ nên 4a+2bEZ

=>4a+2b-2(a+b) EZ

hay 2aEZ

Vì 4a+2b EZ mà 2*2a EZ nên 2b EZ

Vậy 2a,2b thuộc Z

Giả sử tồn tại các số nguyên a,b,c thỏa mãn đề bài

Ta có:\(\hept{\begin{cases}f\left(1998\right)=1998^2a+1998b+c=1\\f\left(2000\right)=2000^2a+2000b+c=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow f\left(2000\right)-f\left(1998\right)=\left(2000^2a+2000b+c\right)-\left(1998^2a+1998b+c\right)=2-1\)

\(\Leftrightarrow\left(2000^2-1998^2\right)a+2b=1\)

Ta thấy 1 là số lẻ mà 2b và (2000^2-1998^2)a là số chẵn nên 2b+(2000^2-1998^2)a là số chắn(Vô lý)

Vậy ko tồn tại các số nguyên a,b,c thỏa mãn đề bài(đpcm)

Cảm ơn bạn Tuấn Anh

Thay b = 3a + c vào f(x) ta được:

f(x) = ax³ + (3a+c)x² + cx + d

⇒ f(1) = a.1³ + 3a + c.1²+ c.1 + d

          = a + 3a + c + c + d

          = 4a + 2c + d

          = 4a + 2c + d                          (1)

f(2) = a.2³ + 3a + c.2² - c.2 + d

      = 8a + 3a + 4c - 2c + d

      = 4a + 2c + d                        (2)

Nhân vế cho vế của (1) và ( 2) ta được 

F(1).F(2)=(4a+2c+d).(4a+3c+d)

             =\(\left(4a+2c+d\right)^2\)

Vậy f(1).F(2) là số chính phương

Bài này đội tuyển toán help mik với

Ta có: x là số nguyên và x chia hết cho 5

=> \(ax^3\)chia hết cho 5

\(bx^2\)chia hết cho 5

\(cx\)chia hết cho 5

\(d\)chia hết cho 5

Suy ra cả a,b,c,d đều chia hết cho 5