Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 5 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=5 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3.\)
Chứng minh rằng:\(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}.\)
Ta có:
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{9-5}{2}=2\)
Suy ra \(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)
Tương tự, ta áp dụng với hai biến thực dương còn lại, thu được:
\(\hept{\begin{cases}b+2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\\c+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\end{cases}}\)
Khi đó, ta nhân vế theo vế đối với ba đẳng thức trên, nhận thấy: \(\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\) (do \(a,b,c>0\) )
nên \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ca}+\sqrt{ca}\right)}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
\(\Rightarrow\) \(đpcm\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=5 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Chứng minh rằng
\(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
bạn sẽ tính đc \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2\)
Thay vao đc \(a+2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
lm Tương tụ r quy đòng nha bạn
bạn sẽ tính đc \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2\)
Ấy ,,,vi diệu ko,,,,rồi thay tiếp vào \(a+2=\sqrt{a}^2+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
bạn lm tương tự r quy đồng,,OK??
~ Hóa ra là tình yêu phút chốc, cứ tin rắng ngày mai người sẽ thấy ~
Cho a;b;c >0 thỏa mãn a+b+c=5 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). CMR:
\(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\).
Chứng minh rằng \(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu:
\(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(=\frac{\left(-\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự CM được: \(4\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right]\ge2\left(\frac{a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right)\) (1)
Lại có: \(VP\left(1\right)-\left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)=...=0\) (biến đổi đồng nhất)
=> \(VT\left(1\right)\ge\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{4}{9}\)
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
=> \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)
=> \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)
Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)
Có: \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)
Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c=5 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Tính giá trị biểu thức:
\(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}.\left(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}\right)\)
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3< =>\left(a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\right)=9< =>\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2\\
\\
\)
Ở đâu có 2 thì thay vào @@
Ta có:
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(a+b+c\right)+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3^2-5}{2}=2\)
Ở đâu có 2 thay bằng \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) là được
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(a-c\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le2\)
Đề phải là số thực không âm mới đúng
Bài 1;Cho x,y thoã mãn 0<x<1 ; 0<y<1 và \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\)tính P=\(x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}\)
Bài 2 : Cho 3 số dương a,b,c thoã mãn \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)Chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Bài 3 cho các số a,b,c,d dương thoã mãn \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)Chứng minh rằng \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(b\ne c,\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{c}\\ \) và \(a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\\ \)
chứng minh \(\frac{a+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2}{b+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\\ \)