Cho a,b,c là các số dương thoả mãn ab+bc+ca=1
Tìm GTNN của biểu thức
\(B=\frac{a^8}{\left(b^2+c^2\right)^2}+\frac{b^8}{\left(c^2+a^2\right)^2}+\frac{c^8}{\left(a^2+b^2\right)^2}\)
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: \(a^2+b^2+c^2\ge\left(a+b+c\right)\sqrt{ab+bc+ca}\)
Tìm GTNN của biểu thức: \(P=a\left(a-2b+2\right)+b\left(b-2c+2\right)+c\left(c-2a+2\right)+\frac{1}{abc}\)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức:\(P=3\left(ab+bc+ca\right)+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2+\frac{1}{8}\left(c-a\right)^2\)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b^2\left(ca+1\right)}+\frac{b}{c^2\left(ab+1\right)}+\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}\ge\frac{9}{\left(1+abc\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:
\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)
Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).
Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
làm sao mà \(x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\)lại luôn đúng
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng : \(\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(c^2+ca+a^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c^2+ca+a^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}}\ge4+\frac{8}{\sqrt{3}}\)
Cộng tác viên giúp với !
ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng
Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.
cho a,b,c la các số thực dương thoả mãn 2(a+b)+b=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= \(\frac{1}{\left(a+3\right)^2}+\frac{4}{\left(b+4\right)^2}+\frac{8}{\left(c+5\right)^2}\)
Cho a,b,C>0 thỏa mãn an+bc+ca=1.Tìm GTNN M=\(\frac{a^8}{\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^8}{\left(b^4+c^4\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^8}{\left(c^4+a^4\right)\left(c^2+b^2\right)}\)
Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn ab+bc+ca=1. Tính giá trị của biểu thức M= \(\frac{a\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(b+c\right)}\)+\(\frac{b\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+b^2\right)\left(c+a\right)}\)+\(\frac{c\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{\left(1+c^2\right)\left(a+b\right)}\)
thay 1=ab+bc+ca vào M phân tích và rút gọn
cháu càng nói thế bác càng k giải nhé :v
1.Cho a,b,c,dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm GTNN của P=a3+b3+1/4c3
2.Cho a,b,c ko âm thoả mãn a+b+c=1.CMR \(ab+bc+ca-2abc\le\frac{2}{27}\)
3.Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab=1.Tìm GTNN cảu biểu thức \(F=\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)
24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1. CMR
\(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+a\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1-b\right)}}\) bé hơn hoặc bằng \(\frac{3\sqrt{2}}{8}\)
Chú ý đến giả thiết a + b + c = 1 ta viết được \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1-c\right)\left(1+c\right)}}=\)\(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{1-c^2}}=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-c^2}}\)\(=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge2ab+2\left(ab+bc+ca\right)=\)\(2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)\)và \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Từ đó dẫn đến \(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}\sqrt{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)\(=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)
Mà theo bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\le\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)}+\frac{ab}{2\left(ab+ca\right)}\right)}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ca}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)
Từ đó ta có bất đẳng thức: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+a\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}\)(2) ; \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)(3)
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)\(\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\)
Ta cần chứng minh\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\le\frac{3\sqrt{2}}{8}\)
Hay \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\le3\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)
\(\le\sqrt{3\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Sửa đề: \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)