b)    CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC

· Gọi F là giao của BD và CA.

Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)

= > B D B A = B M B E = > Δ B D M ~ Δ B A E ( c − g − c ) = > B M D = B E A

Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)

=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF

· Gọi T là giao điểm của CD và AH .

DBCD có TH //BD  = > T H B D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (3)

DFCD có TA //FD  = > T A F D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (4)

Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)

· Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH ÞT là trung điểm AH .

Qua P dựng đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt EF tại Q'. Ta sẽ chỉ ra Q trùng Q'.

Thật vậy: Ta có ^BFC = ^BEC = 90⁰ => Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn (BC)

=> ^AFE = ^ACB = ^BAP (Tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây) => EF // AP (2 góc so le trong bằng nhau)

Gọi H là trực tâm \(\Delta\)ABC, EF cắt BC tại R, AR cắt lại (O) ở S, kẻ đường kính AT của đường tròn (O)

Khi đó dễ thấy tứ giác BHCT là hình bình hành. Do M là trung điểm BC nên H,M,T thẳng hàng

Áp dụng hệ thức lượng trong đường tròn có: RF.RE = RB.RC = RS.RA => A,S,E,F cùng thuộc 1 đường tròn

Mà dễ có A,E,H,F cùng nằm trên đường tròn (AH) nên A,S,F,H,E cùng nằm trên (AH)

=> ^ASH = 90⁰ => SH vuông góc AS. Lại có ST vuông góc AS nên S,H,T thẳng hàng

Kết hợp H,T,M thẳng hàng suy ra S,H,M thẳng hàng. Từ đây MH vuông góc AR tại S

Cũng có AH vuông góc RM nên H là trực tâm \(\Delta\)RAM => RH vuông góc AM

Mà PQ' cũng vuông góc AM nên RH // PQ'. Nếu ta gọi BE giao PQ' tại G thì RH // PG

Áp dụng ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{BH}{HG}=\frac{BR}{RP}\)(Vì PH // PG) \(=\frac{BF}{FA}\)(Vì EF // AP)

Do đó AG // FH (ĐL Thales đảo) hay CH // AG => \(\frac{EC}{EA}=\frac{EH}{EG}\)(Hệ quả ĐL Thales)

Chú ý RH // PQ' hay RH // GQ' suy ra \(\frac{EH}{EG}=\frac{ER}{EQ'}\).Từ đó \(\frac{EC}{EA}=\frac{ER}{EQ'}\)=> AQ' // CR (ĐL Thales đảo)

Khi đó, đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại Q'. Do vậy Q' trùng Q

Điều này tức là PQ vuông góc AM (đpcm).

Cho △ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O), 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a/ Chứng minh : B,C,D,E cùng nằm trên một đường tròn .Xác định tâm M của đường tròn này.

b/ Chứng minh : OM // AH

c/ Chứng minh : AB.AE = AC.AD

d/ Gọi K là điểm đối xứng của H qua M .

a) Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại C, ta được:

\(AB^2=BC^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=AB^2-AC^2=\left(2\cdot R\right)^2-R^2=3\cdot R^2\)

hay \(BC=R\cdot\sqrt{3}\)(đvđd)

Xét ΔABC vuông tại C có 

\(\sin\widehat{A}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

hay \(\widehat{A}=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại C có

\(\widehat{A}+\widehat{B}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{B}=30^0\)

Vậy: \(BC=R\cdot\sqrt{3}\)(đvđd); \(\widehat{A}=60^0\); \(\widehat{B}=30^0\)