\(x^4y+x^2y-x^2y=x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y.\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y}{\left(x^2+1\right)}=x^2y-\frac{x^2y}{\left(x^2+1\right)}\\\frac{y^2z\left(y^2+1\right)-y^2z}{\left(y^2+1\right)}=y^2z-\frac{y^2z}{\left(y^2+1\right)}\\\frac{z^2x\left(z^2+1\right)-z^2x}{\left(z^2+1\right)}=z^2x-\frac{z^2x}{\left(z^2+1\right)}\end{cases}}Vt\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{x^2y}{x^2+1}+\frac{y^2z}{y^2+1}+\frac{z^2x}{z^2+1}\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\z^2+1\ge2z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{x^2y}{x^2+1}\ge\frac{x^2y}{2x}=\frac{xy}{2}\\\frac{y^2z}{2y}=\frac{yz}{2}\\\frac{z^2x}{2z}=\frac{xz}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)}\)

\(x^2y+y^2z+z^2x\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3\)

\(VT\ge3-\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{2}\)

t chỉ làm dc đến đây thôi :))

Từ \(VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)\)ta có:

\(x^2y+x^2y+y^2z=x^2y+x^2y+\frac{y}{x}\ge3xy\)(áp dụng BĐT Cauchy)

Tương tự : \(y^2z+y^2z+z^2x\ge3yz\);   \(z^2x+z^2x+x^2y\ge3zx\)

Cộng vế theo vế suy ra : \(3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1

Do xyz=1. nên bđt cần chứng minh tường đương với

\(\frac{x^4}{x^3z+xz}+\frac{y^4}{y^3x+xy}+\frac{z^4}{z^3y+zy}\ge\frac{3}{2}\)

Theo BĐT Bunhiacopsky ta có:

\(\frac{x^4}{x^3z+xz}+\frac{y^4}{y^3x+xy}+\frac{z^4}{z^3y+zy}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3z+xz+y^3x+xy+z^3y+zy}\)

Do vậy ta cần cm

\(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3z+xz+y^3x+xy+z^3y+zy}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)+4\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge3\left(x^3z+y^3x+z^3y\right)+3\left(xy+yz+xz\right)\)

BĐT trên là tổng của 3 BĐT sau:

\(1,x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy+yz+xz\)

\(2,x^4+y^4+z^4\ge x^3z+y^3x+z^3y\)

\(3,x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge2\left(x^3z+y^3x+z^3y\right)\)

ta có bđt trên tương đương với

\(x^2\left(x-z\right)^2+y^2\left(y-x\right)^2+z^2\left(z-y\right)^2\ge0\)

Nhân 3 ở bđt đầu tiên rồi cộng vế theo vế các bđt ở dưới ta có đpcm

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le\frac{2+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\); \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)\(\le3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}=xyz\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

thế nào nhỉ ( : 
Từ giả thiết => 1/x +1/y +1/z <= 1 
A/d  BĐT 1/(x +y+z) <= 1/9 ( 1/x + 1/y +1/z )  và 1/(x+y) <= 1/4 ( 1/x +1/y )
=> 1/(4x + y+z) = 1/(x+x + y+x + z+x) <= 1/9 ( 1/2x + 1/(y+x) + 1/(z+x) ) <= 1/9 ( 1/(2x)  + 1/4(1/y +1/x) + 1/4(1/x + 1/z)) 
Tương tự cộng lại và sử dụng 1/x +1/y +1/z <= 1
được P <= 1/6(1/x +1/y +1/z) <= 1/6 ĐPCM.

Bài này áp dụng BĐT này nhé , với x,y > 0 ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ( Cách chứng minh thì chuyển vế quy đồng nhé )

Áp dụng vào bài toán ta có :

\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{\left(x+y\right)+\left(z+x\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+x}\right)\)

                                                           \(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

Tương tự ta có :

\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)

Do đó : \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}\) (đpcm)

Ta có: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

                  \(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)

Cộng vế theo vế có: \(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=1\)

cách 1:

với a,b>0 ta có: 4ab < (a+b)² \(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

dấu "=" xảy ra khi a=b

áp dụng kết quả của trên ta có:

\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2x}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right]=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{z}\right)\left(1\right)\)

tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2y}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\right]=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2z}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{2y}+\frac{2}{2x}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)

vậy \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

thấy trong các bđt (1)(2)(3) thì dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{3}{4}\)

cách 2:

áp dụng bđt 1\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)và bđt Cosi cho các số dương ta có:

\(2x+y+z=\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{xyz}\right)\)

do đó: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\right)\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}\right)\end{cases}}\)

cộng theo từng vế 3 bđt trên ta được:

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\left(3\right)\)

từ (3), (4) => đpcm

cách 3:

mặt khác từ bđt Cosi cho 4 số dương hoặc bđt Bunhiacopsky

\(\left(x+x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4\sqrt[4]{x^2\cdot yz}\ge4\sqrt[4]{\frac{1}{x^2yz}}=16\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\end{cases}}\)

cộng 3 vế của bđt trên ta được đpcm

\(VT=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(z+x+y\right)^2}\ge16\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)

Đặt \(a=\sqrt{\frac{yz}{x}},b=\sqrt{\frac{zx}{y}},c=\sqrt{\frac{xy}{z}}\) \(\Rightarrow ab+bc+ac=1\)

Suy ra bài toán trở về dạng chứng minh \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{3}{4}\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 

\(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)

Đặt t = a+b+c \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-2\)

Ta cần chứng minh \(\frac{t^2}{t^2+1}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow4t^2\ge3t^2+3\Rightarrow t^2\ge3\)(Luôn đúng vì \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)=3\))

Vậy ta có đpcm

Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và không nên:

Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta được:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\)\(+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\)

\(+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}.3=\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)